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24.3 正多边形和圆
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.
一、情境导入
如图,要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽,扳手张开的开口至少是多少?你能想办法知道吗?
二、合作探究
探究点一:正多边形的有关概念和性质
【类型一】求正多边形的中心角
已知一个正多边形的每个内角均为108°,则它的中心角为________度.
解析:每个内角为108°,则每个外角为72°,根据多边形的外角和等于360°,∴正多边形的边数为5,则其中心为360°÷5=72°.
【类型二】正多边形的有关计算
已知正六边形ABCDEF的半径是R,求正六边形的边长a和面积S.
解:作半径OA、OB,过O作OH⊥AB,则∠AOH==30°,∴AH=R,∴a=2AH=R.由勾股定理可得:r2=R2-(R)2,∴r=R,∴S=·a·r×6=·R·R·6=R2.
方法总结:熟练掌握多边形的相关概念,以及等边三角形与圆的关系及有关计算.
【类型三】圆的内接正多边形的探究题
如图所示,图①,②,③,…,,M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…,正n边形的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.
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(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON的度数是________,图③中∠MON的度数是________; (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系.(直接写出答案)
解:图①中,连接OB,OC.∵正三角形ABC内接于⊙O,∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.又∠OCN=30°,∠BOC=120°,而BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OCN,∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°;
(2)90° 72°;
(3)∠MON=.
探究点二:作圆的内接正多边形
如图,已知半径为R的⊙O,用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形.
解析:度量法:用量角器量出圆心角是120度的角;尺规作图法:先将圆六等分,然后再每两份合并成一份,将圆三等分.
解:方法一:(1)用量角器画圆心角∠AOB=120°,∠BOC=120°;
(2)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形.
方法二:(1)用量角器画圆心角∠BOC=120°;
(2)在⊙O上用圆规截取=;
(3)连接AC,BC,AB,则△ABC为圆内接正三角形.
方法三:(1)作直径AD;
(2)以D为圆心,以OA长为半径画弧,交⊙O于B,C;
(3)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形.
方法四:(1)作直径AE;
(2)分别以A,E为圆心,OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D,F,B,C;
(3)连接AB,BC,CA(或连接EF,ED,DF),则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形.
方法总结:解决正多边形的作图问题,通常可以使用的方法有两大类:度量法、尺规作图法;其中度量法可以画出任意的多边形,而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形,如边数是3、4的整数倍的正多边形.
三、板书设计
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教学过程中,强调正多边形与圆的联系,将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.
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