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【高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有：
平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．
试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.
【重点、难点剖析】
1．向量的概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．
(5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．
2．两非零向量平行、垂直的充要条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)若a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
3．平面向量的性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|A|＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．
5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．
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6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．
【题型示例】
考点1、平面向量的线性运算
【例1】【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a||b,则 .
【答案】-3
【解析】由a||b可得
【变式探究】【2016高考新课标2文数】已知向量，且，则（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D
【解析】向量，由得，解得，故选D.
【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
【变式探究】(2015·北京，13)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________．
解析 ＝＋＝＋＝＋(－)
＝－，
∴x＝，y＝－.
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答案 －
【变式探究】(1)(2014·四川)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)(2014·湖北)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
【命题意图】(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识，考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力．
(2)本题主要考查向量的数量积等知识，意在考查考生对基础知识的理解和运用能力．
【答案】(1)D (2)±3
【感悟提升】
平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等．
(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解．
(2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解．
(3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．
(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．
注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．
【变式探究】(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
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【答案】
【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量用
，表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．
考点2、平面向量的数量积
【例2】【2017北京，文12】已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________．
【答案】6
【解析】所以最大值是6.
【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
【答案】
【解析】因为，
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，
因此，
【举一反三】(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60° ，则·＝( )
A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2
解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，
∴BD＝a.
∴·＝||·||cos 30°＝
a2×＝a2.
答案 D
【变式探究】(2015·安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
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【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．
【变式探究】(2015·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20 B. 15 C．9 D．6
题型三、平面向量基本定理及其应用
例3．【2017江苏，16】 已知向量
（1）若a∥b,求x的值；
（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】（1）（2）时， 取到最大值3； 时， 取到最小值.
【解析】
（1）因为， ，a∥b，
所以.
若，则，与矛盾，故.
于是.
又，所以.
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（2）.
因为，所以，
从而.
于是，当，即时， 取到最大值3；
当，即时， 取到最小值.
【变式探究】【2016年高考四川文数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,
===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【举一反三】(2015·湖南，8)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P
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的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆直径，故＋＝2＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y)．故|＋＋|＝，∴x＝－1时有最大值＝7，故选B.
答案 B
【变式探究】(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bcos θ，0≤θ
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