《任意角的三角函数》教学设计

1 任意角的三角函数 一、教学内容分析 三角函数是重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。任意角的三角函数是学习诱导 公式、三角函数的图象与性质的前提。它不仅是本节的核心概念，也是三角函数内容的核心概念。由于角 的概念的推广，锐角三角函数的概念也必然要扩充，任意角的三角函数的概念的出现是角的概念推广的必 然结果。 二、教学目标分析 （一）知识与技能 1.能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数、任意角的三角函数。 2.了解三角函数是以角为自量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。 3.知道三角函数是研究一个实数集到另一个实数集的对应关系。 （二）过程与方法 1.经历从锐角三角函数定义过渡到任意角的三角函数定义的学习过程，体验三角函数概念的产生、发展过 程。 2.在定义任意角的三角函数过程中，领悟直角坐标系的工具功能，体会数形结合的魅力。 （三）情感态度与价值观 1.引导学生积极探索、深入思考，在任意角三角函数定义建构的过程中，激发学生求知欲，鼓励学生大胆 尝试，培养学生敢于探索、勇于创新的学习品质。 2.在任意角的三角函数概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。 三、学情分析 在概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用，发挥其正迁移，防止其负迁移。本课时研究的是 任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的， 没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程 中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野， 并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函2 数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有 知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫；第三，由 于研究范围的改变，更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。这 些都是在本课时的学习之后应该取得的认知方面的进步。 认识一个函数，关键是认识函数的三要素。在学生学习过的函数中，一次、二次、反比例或者用图、 表表示的对应法则的函数，其三要素是比较容易找到的，指、对函数的学习就需要一定的基础，同样在任 意角的三角函数学习过程中也可能在自变量和对应法则上出现问题，应该注意明确任意角的三角函数的三 要素，比如正弦函数 y=sinα中自变量是角α，并且α∈R，对应法则是一个角与其正弦值对应，至于这个 值怎么计算，在此处是规定为角α终边与单位圆交点的纵坐标，通过例 2 可以看出，也可以利用比值定义。 对于一次函数、二次函数也需要将自变量的值进行计算得到函数值，这一点本质上是统一的， 要引导学生 类比理解。 此外，由于学生对角度制的应用已经很熟练，而对弧度制的应用比较陌生，所以在理解函数的定义域 是实数集时可能会出现问题，这需要教师的引导，同时也需要时间适应。 四、教学策略 1．学生理解锐角三角函数与三角形的大小无关可能会有一定难度，原因是在初中，锐角所在的三角形是 给定的。通过几何画板的动态性来克服这个困难。 2．学生理解“三角函数可以看成是自变量为实数的函数”会有一定困难，原因是初中学习的锐角三角函 数是用来解三角形的工具，并没有作为函数研究。在教学过程中，通过几何画板演示，分析角的终边唯一， 终边与单位圆的交点唯一，交点的坐标唯一，让学生理解正弦、余弦、正切是函数。 3．在研究例 1 的变式 2 时，学生在求角的终边与单位圆的交点时，可能会有困难，原因是给定的角终边 上的点并不在单位圆上，为了解决这个困难，设计了变式 1，从而分散这个难点。 五、教学过程设计 （一）教学流程设计 回顾旧知→初步感知→类比分析→生成新知→解决问题→形成技能→目标检测→能力培养→梳理知 识→提升思想→课后巩固→知识内化→分析联系→洞悉本质 （二）教学环节设计 1．回顾旧知，初步感知3 教师：请同学们阅读学案上的问题，思考并交流。 问题 1 在初中，锐角 的正弦、余弦、正切是怎样定义的?当锐角 的度数一定时，角 的三角函数值与 三有形的大小有关吗?对于锐角 的每一个确定值， 有几个值与它对应?锐角三角函数的用途?（参 照图 1） 学生 1： ， ， 。 教师：这是以 为载体，如果以三角形 为载体，锐角 的正弦、余弦、正切是怎样定义的? 学生 2： ， ， ，角 的三角函数值与三角形的大小无关。 教师活动：演示几何画板课件，让学生直观的感知，当点 在锐角 的一条边上移动时（见课件锐角三角 函数(非坐标）)，角 的正弦、余弦、正切没有发生改变。 学生 3：对于锐角 的每一个确定值， 唯一的值与它对应。 教师：能不能从函数的角度分析一下正弦、余弦、正切，分析锐角三角函数的用途？ 学生 3： 是 的函数，同样地， ， 也是 的函数。锐角三角函数主要的用途是解三角形。 图 1 图 2 设计意图：通过回顾锐角三角函数的定义，加深对锐角三角函数概念的理解，认识到研究锐角三角函 数的平台为直角三角形。让学生初步感知，锐角三角函数也是函数，为任意角三角函数的定义做准备。 问题 2 任给一个锐角 (见图 2)，借助格尺，分析 sin ，cos ，tan 的近似值。 学生活动：学生三人一组，相互交流，根据给定锐角 ，做出三角形，测量三角形的三条边长，进而求出 锐角 的正弦、余弦、正切。 学生 4：锐角 的对长为 3，锐角 的邻边长为 4，斜边长为 5。所以 ， ， 。 O O O O sinO sin AMO AO = cos OMO AO = tan AMO MO = AMO∆ 1 1AM O O 1 1 1 sin A MO AO = 1 1 cos OMO AO = 1 1 1 tan A MO M O = O A O O O sinO sinO O cosO tanO O O α α α O O O O 3sin 5O = 4cos 5O = 3tan 4O = M1 O M A A1 O4 教师：你是依据给出的锐角 得出的结果吗？ 学生 4：不是，我自己做的角，这样做方便。 教师：如果求这个给定的锐角 的正弦、余弦、正切，那么应当怎么办？ 学生 4：在锐角 的一条边上任取一点 A，过点 A 做另一条边的垂线，垂足为 M， 只需要测量 AO、AM、MO 的长度，即可求出锐角 的正弦、余弦、正切。 意图：让学生亲自动手操作，让学生感受到，如果所作的三角形，有一条边的长度是特殊值，这样会 让计算更方便，为问题 3 作好铺垫。 问题 3 能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？ 学生 5：让三角形 OAM 的斜边长为单位长。 教师：根据是什么？ 学生 5：斜边出现的概率大，三个比值中，斜边在分母中出现两次，少数服从多数。 教师：回答的非常精彩、形象。（热烈掌声） 意图：让学生意识到，既然锐角 的三角函数值与所在的三角形大小无关，则可以选择特殊的三角形 来求三角函数值，为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做铺垫。 2．类比分析 生成新知 问题 4 如何定义任意角的三角函数?可否用定义锐角三角函数的方法来定义任意角的三角函数? 教师：这节课，我们一起来研究任意角的三角函数。 板书本节课的题目：任意角的三角函数。 学生 6：不行，因为不能把钝角放入直角三角形，更不要说负角、零角了。 教师：也就是说，研究锐角三角函数的平台不能研究非锐角三角函数，那么应当选择哪个平台呢？想一下， 将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪个平台进行研究的？ 学生 6：直角坐标系。 教师：把角放入坐标系中研究，有什么优势。 学生 6：由于角顶点与原点重合，始边与 轴重合，所以研究角即研究角的终边。 意图：直角坐标系是展示函数规律的载体，是构架“数形结合”的天然桥梁，借助坐标系，可以使角 O O O O O x5 的讨论简化，也能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的现象。坐标系也为我们从“数”的角度定义 任意角三角函数提供有效载体. 意图：引导学生借助坐标系来定义任意角三角函数. 问题 5 在直角坐标系中，你能用点的坐标来表示锐角的三角函数吗? 教师：把锐角 放入坐标系后，如何求它的正弦、余弦、正切？ 学 生 7 ： 在 锐 角 的 终 边 上 任 取 一 点 ， 作 轴 的 垂 线 ， 构 造 直 角 三 角 形 。 这 样 ， ， ， 。 教师：能不能简单些？ 学生 7：可以让直角三角形的斜边长为单位长，这样 ， ， 。 教师活动：展示课件（见课件锐角三角函数），然后板书。 教师：大家思考，锐角三角函数的坐标定义与初中定义有什么区别、什么联系？ 学生 8：不同点，初中定义是以直角三角形为载体，三角函数值是比值；坐标定义是以直角坐标系为载体， 三角函数值是坐标或坐标的比值。相同点，角 的正弦、余弦、正切均为角 的函数。 教师：锐角 的正弦、余弦、正切是角 的函数的依据是什么？ 学生 9：锐角 的终边唯一确定，则与单位圆的交点唯一确定，交点的坐标与坐标比值唯一确定，符合函 数的定义。 教师：当角 为钝角时，它的正弦、余弦、正切应当怎么定义？ 学生 10：可以把角 放入坐标系，用角 的终边与单位的交点或交点的比值来定义它的三角函数。 O O ( , )P x y x 2 2 sin yO x y = + 2 2 cos xO x y = + tan yO x = sinO y= cosO x= tan yO x = α α α α α α α α 任意角的三角函数 一．任意角的三角函数定义 α 是锐角，角α 终边与单位圆的交点 ( , )A x y 。 y 叫做角α 的正弦，记作sinα ，即sin yα = ； x 叫做角α 的余弦，记作 cosα ，即 cosα =x； y x 叫做角α 的正切，记作 tanα ，即 tan y x α = 。6 教师：为什么可以这么定义，谁能说一说这么定义的合理性？ 学生 11：因为角的终边与单位的交点唯一。 教师：试给出任意角的三角函数定义。 学生 12：与锐角的三角函数定义相似，只要把锐角改成任意角就可以了。 教师把黑板上的锐角改成任意角。 （注：学生分析任意角的三角函数定义，可能有两种结果 可能一：传统的定义 可能二：单位圆定义 如果是可能二，则继续研究下面的问题，把传统的定义留在课下，让学生分析。 如果是可能一，则引导学生发现可能二，同时引导学生议论，确定两种定义的一致性，统一认识，生成任 意角的三角函数定义。 设计意图:引导学生在单位圆定义锐角三角函数的基础上, 进一步给出任意角三角函数的定义，让学生了解 知识的来龙去脉，让学生意识到知识的产生是水到渠成的，不是强加给他们的。 问题 6：弧度制下，正弦、余弦、正切的定义域？ 学生 13：正弦、余弦的定义域为 ，正切的定义域为 。 教师：说一下原因。 学生 13：因为任意角的终边与单位圆都有交点，有交点则一定有纵坐标与横坐标，所以正弦、余弦的定义 域为 。而正切要有意义，则角的终边与单位的交点的横坐标不能为 0 ，所以正切的定义域为 。 设计意图：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域．三角函 数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域．通过利用定义求定义域，既完 善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念． 问题 7：根据任意角三角函数的定义，分析求任意角的正弦、余弦、正切值的步骤？ 学生 14：做角的终边，求角的终边与单位的交点，依据任意角的三角函数定义求出角的三角函数值。 设计意图：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角 函数概念的本质．一个角的三角函数值被角的终边与单位圆的交点,唯一确定,与其它的量无关. 3．解决问题 形成技能 R { | , }2x x k k Z π π≠ + ∈ R { | , }2x x k k Z π π≠ + ∈7 例 1：已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值． 变式 1:求 的正弦、余弦和正切值，求 的正弦、余弦和正切值. 变式 2:已知角 的终边经过 ,求角 的正弦、余弦和正切值． 学生 15：由任意角三角函数定义， ， ， 。 学生 16：要求角 的正弦、余弦、正切，只要求角 终边与单位圆的交点坐标。 设出终边所在射线的方程，与单位的方程联立即可。 学生 19：还可以利用相似来求角的终边与单位圆的交点。 教师演示课件，展示利用相似法解答变式 2。 教师：通过刚才的学习，我们发现一个角的正弦、余弦、正切，有时是正的，有时是负的，那么何时为正， 何时为负，何时为零呢？ 问题 8：正弦、余弦、正切这三个函数的值在各象限的符号？ 学生 20：可以用任意角的三角函数定义来分析，当角的终边在第一象限时，角的终边与单位圆的交点的横 纵坐标均为正值，所以正弦、余弦、正切均正； 同理，二象限角的正弦为正，余弦为负，正切为负；三象限角的正弦为负，余弦为负，正切为正；四象限 角的正弦为负，余弦为负，正切为正。 教师活动：演示几何画板课件（见课件三角函数的符号）。显示出一个才字，第一笔穿过一、二象限，表 示一、二象限角的正弦为正，三、四象限角的正弦为负；第二笔穿过一四象限，表示一、四象限角的余弦 为正，二、三象限角的余弦为负；第三笔穿过一、三象限，表示一、三象限角的正切为正，二、四象限角 的正切为负。 例 2 求证：（1）当不等式组 成立时，角 为第三象限角； （2）当角θ为第三象限角时，不等式组 成立． α 1 3( , )2 2 − α 2 3 π 5 3 π α 0 ( 3, 4)P − − α 3sin 2 α = − 1cos 2 α = tan 3α = − α α sin 0 tan 0 θ θ  θ sin 0 tan 0 θ θ 8 教师活动：演示课件（见课件例 3）。 学生 21 ： ，所以 角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与 轴的非负重合；又因为 ，所以 角的终边可能位于第一或第三象限。因为两式均成立，所以 角的终边只能位于第三象 限，于是角 为第三象限角。反过来也成立。 设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解 三角函数的概念，体会数形结合的思想。 教师：求 ？ 学生 22：找 终边与单位圆的交点。 教师：怎么找？ 学生 22： 的终边与 终边相同，所以与单位圆的交点相同，则两个角的正弦、余弦、正切相等。 问题 9:既然角的三角函数值,只与角的终边与单位圆的交点有关,那么终边相同角的三角函数值有什么关 系? 学生 22：终边相同的角的同一三角函数的值相等。 教师板书公式一。 教师：这个公式的作用是什么？ 学生 23：利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求 0 到 角的三角函数值。 例 3 确定下列三角函数值的符号： （1） ；（2） ；（3） 。 例 4 求下列三角函数值： （1） ；（2） ；（3） 。 设计意图：巩固三角函数的符号、公式一。 4．目标检测 能力培养 P15 1 至 7 设计意图：应用本节课的知识解答简单的问题，学以致用。 sin 0θ < θ y tan 0θ > θ θ θ 1sin998 2 π 1998 2 π 1998 2 π 1 2 π 2π cos226 3sin( )5 π− tan( 762 )−  sin1200 9cos 4 π 11tan( )6 π−9 5．梳理知识 提升思想 教师：本节课你学习了哪些知识？ 学生 24：任意角三角函数的定义,三角函数的定义域，三角函数值在各个象限的符号,公式一。 教师：你能说说每个知识点的用途吗？ 学生 24：任意角的三角函数的定义可以用来求给定的某个角的三角函数值，公式一可以把任意角的三角函 数值，转化为 0 到 角的三角函数值，当给我们一个角的三角函数值时，我们可以判断这个角所在的象 限。 教师：说得非常准确，谁能说说本节课中渗透的数学思想？ 学生 25：在分析任意角的三角函数定义时，渗透了特殊到一般的思想、数形结合的思想，公式一渗透了转 化与化归的思想，在分析例 2 时渗透了函数与方程的思想。 教师：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数的三角函数 虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了。 设计意图：总结本节课的主要内容，让学生了解知识的来龙去脉，明确知识产生的必要性，知识应用在何 处，如何应用，知道研究问题的过程中渗透的数学思想。 6.课后巩固 知识内化 P20 A 组 4、5、7 设计意图：通过作业，让学生加深对任意角的三角函数的概念的理解，评价学生对本节课的内容学习情况。 7.分析联系 洞悉本质 P13 三角函数的另外一种定义，试分析两种定义的联系。 设计意图：如果学生在生成任意角的三角函数概念过程中，分析了传统定义，则本部分略，否则，通过这 个思考题，让学生感受传统定义与单位圆定义的一致性，体会单位圆定义的优势。 教学设计说明：本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性”。 在本节课的学习过程中，首先让学生了解学习任意角三角函数的必要性。在本节课中，没有直接把任意角 的三角函数概念介绍给学生，而是把初中学习的“锐角三角函数”作为先行组织者，在教学的过程中不断 提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与任意角三角函数概念的探索过程，整个教 学过程遵重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题。通过自主探究，交流合作 有机建构，生成新知，改变学生模仿式的学习方式。在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合 思想、函数与方程思想。在教学过程中通过恰当的应用信息技术，让学生学习新知的过程变得愉悦、轻松。 2π10 任意角的三角函数概念生成结构图： 锐角 任意角 锐角三角函数 任意角三角函数 角 函数 推广 推广 几 何 观 点 代 数 观 点 特殊 特殊 代 数 观 点