《平面向量基本定理》教学设计

《平面向量基本定理》教学设计 ---- 武斌 一、背景分析 1．教材分析 函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。 此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特 征。本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解 和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。通过平面向量基 本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处 理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。本 节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向 量的分解”。 2．学情分析 从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如 共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对 向量的物理背景有了初步的认识。 从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力， 能在教师的引导下解决问题。 教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手 探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生 的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是 本节课的教学难点． 二.学习目标 1）知识与技能目标 1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底 来表示平面中的任一向量。 2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。 2）过程与方法目标 1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培 养 学 生 观 察 发 现 问 题 、 由 特 殊 到 一 般 的 归 纳 总 结 问 题 能 力 。 2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。 3）情感、态度与价值观目标 1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识； 2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活 动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 [设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现 了培养学生核心素养的要求． 三．课堂结构设计 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学结构设计为七个 阶段： 四、教学过程设计 教学过程 1．创设问题、引出新课 情境一：（播放神舟十一探测器发射的视频） 情境二： 我们在小的时候都玩过“滑滑梯”，滑梯越高、 越光滑，滑的速 度越快，越舒服，那感觉就象 “开飞机一样”。 [设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程， 培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活 化，生活学科化。体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。 2.问题驱动、探究新知 创设问题、引出新课 思考交流、构建概念 定理点拨、加深理解 例题练习、巩固新知 归纳小结、深化认知 布置作业、巩固提高 问题驱动、探究新知 以问题为导向给出三个提问，时间五分钟 问题（1）给定平面内任意两个向量 请你做出 两个向 量。 [设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示 某个向量，为向量的线性表示打下基础． 问题（2）以向量 为平行四边形的一条对角线，做平行四边形，这样的四 边形唯一吗？ [设计意图]：通过平行四边形说明同一个向量表示的不唯一性，即多种表示 方法。 问题（3）已知向量 ，仍以 为平行四边形的对角线，且平行相邻 边所在直线平行于 这样的平行四边形唯一吗？ [设计意图]：在 确定的情况下，由向量共线定理说明表示的唯一性， 即平行四边形的确定性 通过三个问题，课件展示给学生，使学生亲身感受利用已学知识在处理问题 时的作用，引起学生的思考，为定理的形成奠定基础。 问题 4 ：如果 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的 任一向量，那么用 如何表示 ？尝试做出你的想法。 [设计意图]：通过前三个问题的设置和解决，引申出一个向量如何用其它向 量来表示的问题，目的通过学生的“观察、分析 、归纳 、概括”培养学生抽象 思维的能力，形成定理的的图像表述。 3.思考交流、构建概念 将图形语言转化为文字语言得到基本定理： 如果 是同 一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平 面内的任一向量 ，存在一对实数 ，使 ，其中把不 共线的向量 ， 叫向量 的一组基底。 4.定理点拨、加深理解 请同学们勾画出概念中的关键词，并思考几个问题． ① 满足什么条件才能做基底 ② 基底 是否具有可选择性 ③ 定理中实数 是否唯一 ④ 平面向量基本定理的实质是什么？ 21,ee 2121 223 eeee −+ 和 a aee ,, 21 a ,, 21 ee ,, 21 ee 21,ee a 21,ee a 21,ee a 21,λλ 2211 eea λλ += 21,ee a 21,ee 21,ee 21,λλ教师点拨。引导学生深入理解定理。 5.例题练习、巩固新知 请选择合适的基底表示出 向量。 （学生先思考、计算，板演，师生共同完成） [设计意图]: 一方面加深学生对平面向量基本定理 的理解。理解平面内基底选择的不唯一性。另一方面为向量的几何应用打下基础。 以此培养学生观察问题、分析问题的能力． 设意图：本例题的设置意在让学生体会到数学来源于生活， 服务于生活。体验到数学在解决实际问题中的应用，发展 学生的数学应用意识。 练习： MN 例 1 、 如 图 ， 已 知 梯 形 ABCD ， AB//CD ， 且 AB=2DC,M,N 分别是 DC,AB 的中点. M A N CD B 例 2:如图,质量为 10kg 的物体 A 沿倾角 θ=30°的斜面匀速下滑,求物体受到的 滑动摩擦力和支持力。(g=10m/s2) 2、若 3、如图，在平行四边形 ABCD 中 E、F 分别是线段 BC、DC 的中点，已知 试用向量 表示 6．归纳小结、深化认知 本节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？你自己体会最深刻的是什么？ (1)通过定理，学习平面内任一向量 都可以表示为两个不共线向量的线性组合,体验了由特 殊到一般的归纳概括能力的要求。 (2)通过定理掌握了基底一定，向量表示唯一的辩证统一思想，有序实数对 与向量 一一对应思想体现数学的简洁美，为后继课程学习打下了基础。 设计意图：选派小组代表归纳总结，让学生体会知识的收获感和获得的成就感，体现课堂的 价值。 7、布置作业、巩固提高 作业：【必做题】课本 87 页第 1、2、5、6 题。 【选作题】用向量法证明三角形的中位线平行于第三边且等于 第三边的一半。 [设计意图]：分层次要求，分层次作业，其中必做题针对所有学生基础，学有余 力的学生作选做题，体现分层教学。 ________,,0 212211 ===+ λλλλ 则ee bADaAB == , ba, DEBF, ),( 21 λλ a A B CD E F