九年级数学上册21.2解一元二次方程21.2.2公式法导学案（新人教版）

1 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 学习目标：1.经历求根公式的推导过程. 2.会用公式法解一元二次方程. 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 重点：运用公式法解一元二次方程. 难点：一元二次方程求根公式的推导. 一、知识链接 如何用配方法解方程 2x2+4x-1=0? 二、要点探究 探究点 1：求根公式的推导 合作探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？ 问题 1 用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0). 解：移项，得 ax2+bx=－c， 二次项系数化为 1，得 x2+ x= 配方，得 x2+ x+( )2=( )2 即(x+ )2= ① 问题 2 对于方程①接下来能直接开平方解吗？ 要点归纳：∵a ≠0，∴4a2>0.要注意式子 b2－4ac 的值有大于 0、小于 0 和等于 0 三种情况. 探究点 2：一元二次方程根的判别式 我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2－4ac. 判别式的情况 根的情况 练一练 按要求完成下列表格. c a- c a- 2 b a 2 2 4 4 b ac a - D D 0D> 0D= 0D< 0D³ 自主学习 课堂探究2 的值 根的情况 典例精析 例 1 已知一元二次方程 x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 例 2 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1) 3x2+4x－3=0； (2) 4x2=12x－9； (3) 7y=5(y2+1). 方法总结：现将方程变形为一般形式 ax2+bx+c=0，再根据根的判别式求解即可. 例 3 若关于 x 的一元二次方程 x2+8x+q=0 有两个不相等的实数根，则 q 的取值范围是( ) A. q≤4 B. q≥4 C. q16 【变式题】二次项系数含字母 若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x－1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k>－1 B. k>－1 且 k≠0 C. k－1 且 k≠0，故选 B. 【变式题】A 思路分析：分 k=0 或 k≠0 两种情况进行分类讨论. 探究点 3：用公式法解方程 例 4 解：(1)a=1，b=－4，c=－7，b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根 即 . (2)a=2，b= ，c=1，b2－4ac=( )2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即 . (3)方程化为 5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相 等的实数根 即 . (4)方程化为 x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根. 当堂检测 1.解：(1)a=2，b=3，c=－4，b2－4ac=32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根. (2)a=1，b=－1，c= ，b2－4ac=(－1)2－4×1× =0.方程有两个相等的实数根. (3)a=1，b=－1，c=1，b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根. 2.解：这里 a=1，b=7，c=－18，b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0. 2 12 .2x x+ = ( )2 3+1 2x = 6+1 2x =± 1 2 6 61 12 2x x= - + = - -， b a b a 2 b a 2 b a 1 3- 2 4 ( 4) 44 2 11.2 2 1 b b acx a - ± - - - ±= = = ±´ 1 22 11 2 11x x= - = +， 2 2- 2 2- 2 1 2 4 2 2 0 2 2 2 2 2 b b acx x a - ± - - ±= = = - =´ 2 4 ( 4) 36 4 6.2 2 5 10 b b acx a - ± - - - ± ±= = =´ 1 2 11 5x x= = -， 1 4 1 46 ∴ . 3. 解：去括号，得 x－2－3x2 + 6x = 6，化为一般式为 3x2－7x + 8 = 0，这里 a=3，b=－7，c=8，b2－4ac= (－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根. 4.这里 a=2，b= ，c=3，b2－4ac=( )2－4×2×3=3＞0. ∴ . 5.(1)m≤1 (2)解：化为一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且 m－1≠0，解得 且 m≠1. 6.解： ，∵ ，∴ ，∴ ∴方程有两个实数根. 能力提升 解：关于 x 的方程 x2+(b+2)x+6－b=0 有两个相等的实数根， 所以 Δ=b2－4ac=(b－2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0.所以 b=－10 或 b=2. 将 b=－10 代入原方程得 x2－8x+16=0，x1=x2=4； 将 b=2 代入原方程得 x2+4x+4=0，x1=x2=－2（舍去）； 所以△ABC 的三边长为 4，4，5，其周长为 4+4+5=13. 2 4 7 121 7 11.2 2 1 2 b b acx a - ± - - ± - ±= = =´ 1 29 2x x= - =， 3 3- 3 3- 2 4 3 3 3 .2 4 b b acx a - ± - ±= = 1 2 33 2x x= =， 2 3m ³ ( )2 2 2 2 22 2 4 1 8 4 4k k k k kD= - ´ ´ = - = 2 0k ³ 24 0k ³ 0.D³