九年级数学上册21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案（新人教版）

1 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系. 难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 一、知识链接 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2.如何用判别式 b2－4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 二、要点探究 探究点 1：探索一元二次方程的根与系数的关系 算一算 解下列方程并完成填空. (1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0. 想一想 方程的两根 x1，x2 与系数 a，b，c 有什么关系？ 两根一元二次方程 x1 x2 关系 x2+3x－4=0 x2－5x+6=0 2x2+3x+1=0 猜一猜 1.若一元二次方程的两根为 x1，x2，则有 x－x1=0，且 x－x2=0，那么方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2 为已知 数)的两根是什么？将方程化为 x2+px+q=0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 2.通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是 x1、 x2，那么，你可以发现什么结 论？ 要点归纳：一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为 x1、 x2，那么 ， .(前提条件是 b2－4ac≥0) 探究点 2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 典例精析 1 2 bx x a+ = - 1 2 cx x a= 自主学习 课堂探究2 例 1 (教材 P16 例 4)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2. 方法总结：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入 a、b、c 的值即 可. 例 2 已知方程 5x2+kx－6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 变式题 已知方程 3x2－18x+m=0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 例 3 不解方程，求方程 2x2+3x－1=0 的两根的平方和、倒数和. 练一练 设 x1，x2 为方程 x2－4x+1=0 的两个根，则： (1) ， (2) ， (3) ， (4) . 方法总结：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式， 再整体代入. 例 4 设 x1，x2 是方程 x2 －2(k － 1)x + k2 =0 的两个实数根，且 4，求 k 的值. 方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条 件，即所求的字母应该满足△≥0. 三、课堂小结 根与系数的关系的内容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 为 x1、 x2，那么 ， . 根与系数的关系的应用 1 2x x+ = 1 2x x = 2 2 1 2x x+ = 2 1 2( )x x- = 2 2 1 2x x+ = 1 2 bx x a+ = - 1 2 cx x a= 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x+ = + - 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x- = + - 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x ++ =3 1 已知一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为－2 和 1，则 p = ， q= . 2.如果－1 是方程 2x2－x+m=0 的一个根，则另一个根是 ，m = . 3.已知方程 3x2－19x + m=0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 4.已知 x1，x2 是方程 2x2+2kx+k－1=0 的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4； (1)求 k 的值； (2)求(x1－x2)2 的值. 5.设 x1，x2 是方程 3x2+4x－3 = 0 的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2) 拓展提升 6. 当 k 为何值时，方程 2x2－kx+1=0 的两根差为 1. 7.已知关于 x 的一元二次方程 mx2-2mx+m -2=0 (1)若方程有实数根,求实数 m 的取值范围. (2)若方程两根 x1，x2 满足|x1-x2|= 1 求 m 的值. 参考答案 2 1 1 2 .x x x x+ 当堂检测4 自主学习 一、知识链接 1.当 ≥0 时，方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 . 2.当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0 时，方程无 实数根. 课堂探究 二、要点探究 探究点 1：探索一元二次方程的根与系数的关系 想一想 两根 关系一元二次方程 x1 x2 x2+3x－4=0 -4 1 x1+x2=-3，x1·x2=-4 x2－5x+6=0 3 2 x1+x2=5，x1·x2=6 2x2+3x+1=0 -1 x1+x2= ，x1·x2= 猜一猜 1.方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2 为已知数)的两根是 x=x1 或 x=x2. (x－x1)(x－x2)=x2-(x1+x2)x+x1x2=0,x1+x2=-p，x1x2=q. 2.x1+x2= ，x1x2= . 探究点 2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 典例精析 例 1 解：（1）这里 a=1 , b= – 6 , c= – 15 .Δ = b2- 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = –( – 6 ) =6，x1 x2 = – 15 . （2）这里 a = 3 , b =7, c = -9.Δ=b2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = . （3）方程可化为 4x2 – 5x +1 =0，这里 a =4， b = – 5，c = 1.Δ = b2 - 4ac =(– 5)2 – 4×4× 1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = 例 2 解：设方程的两个根分别是 x1，x2，其中 x1=2 . 所以 x1 x2 =2x2= 即 x2 = 由于 x1 + x2=2+ = 得 k=－7.答：方程的另一个根是 k=－7. 变式题 解：设方程的两个根分别是 x1，x2，，其中 x1=1.所以 x1 + x2=1+ x2=6，即 x2=5 . 由于 x1 x2=1×5= 得 m=15.答：方程的另一个根是 5，m=15. 例 3 解：根据根与系数的关系可知： D 2 4 2 b b acx a - ± -= 1 2- 3 2- 1 2 b a- c a 7 3- 9 33 - = - 5 5 4 4 -- = 1 .4 6.5- 3.5- 3 5 æ öç ÷-ç ÷è ø .5 k- 3,5- ,3 m 1 2 1 2 3 1, .2 2x x x x+ = - = -5 （1）∵ ∴ （2） 练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12 例 4 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0，即 -8k + 4 ≥ 0.由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.∴ = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.由 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4，解得 k1= 0， k2 = 4 .经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.所以 k=0. 当堂检测 1.1 -2 2. -3 3.解：将 x = 1 代入方程中 3 -19 + m = 0.解得 m = 16，设另一个根为 x1，则 4.解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得 k=-7； (2)因为 k=-7,所以 则 5. 解：根据根与系数的关系得 （1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= （2） 拓展提升 6.解：设方程两根分别为 x1，x2（x1＞x2），则 x1-x2=1.由根与系数的关系，得 7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2）=4m2-4m2+8m=8m≥0.∵m≠0，∴m 的取 值范围为 m＞0. （2）∵方程有实数根 x1，x2， 解得 m=8.经检验，m=8 是方程的解. 2 2 2 1 2 1 1 2 2( ) 2 ,x x x x x x+ = + + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 1 13( ) 2 2 .2 2 4x x x x x x æ ö æ öç ÷ ç ÷+ = + - = - - ´ - =ç ÷ ç ÷è ø è ø 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 3.2 2 x x x x x x æ ö æ ö+ ç ÷ ç ÷+ = = - ¸ - =ç ÷ ç ÷è ø è ø 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x+ = + - 2 2 1 2x x+ = 3 2 1 161 .3 cx a´ = = 1 16.3x\ = 1 2 1 2 1, .2 kx x k x x -+ = - = 1 ( ) 1 4.2 k k- + - + = 1 2 1 27, 4.x x x x+ = - = - 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 7 4 ( 4) 65.x x x x x x- = + - = - ´ - = 1 2 1 2 4 , 1.3 b cx x x xa a+ = - = - = = - 4 41 ( ) 1 .3 3- + - + = - 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 34.9 x xx x x x x x x x x x x x + + -+ = = = - 1 2 1 2 1, .2 2 kx x x x+ = = 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 1.x x x x x x- = + - = 2 214 1, 3, 2 3.2 2 2 k k kæ ö æ öç ÷ ç ÷\ - ´ = \ = \ =±ç ÷ ç ÷è ø è ø 1 2 1 2 22, .mx x x x m -+ = = 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 1.x x x x x x- = + - = 2 22 4 1.m m -\ - ´ =