21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、教材分析：
本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在
中考中体现，延伸到高中的教学中也有广泛的应用。现在又将曾一度删去的内容恢复，可见
根系关系的重要，它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新
的思路。
二、学情分析：
1.学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意
的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们
在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
三、教法特点及预期效果分析：
1、 本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使 学生既动手
又动脑，且又动口 ，教师引导启 发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体
现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识 上升到理性认识）的认
知规律。
3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。
学法指导
1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。
2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。
3、指导 学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。
四、教学目标:
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用
根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一 元二次方程
两个根的倒数和与平方和，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学
活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意
识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态
度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
教学重点和难点
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表
述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点 。
五、教学过程:
（一）探索新知问题 1.在方程 ax2+bx+c=0 中，a 的取值决定什么？b2-4ac 的取值呢？两根怎么求？同
学们可知道 a、b、c 的取值与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根还有其它关系？今天我们进一
步研究一元二次方 程的这种关系。
问题 2.解下列方程并填写下表：
（1）x2-5x+6=0 （2）2x2+5x+3=0 （2）3x2-2x-8=0
填写下表
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2
x2-5x+6=0
2x2+5x+3=0
3x 2-2x-8=0
【设计意图】：
二次项系数为 1 有 1 题；二次项系数不为 1 有 2 题,系数性质符号各有不同.让学生尽量
体会与猜想两根和、两根积与 系数之间的关系
请观察上表，你能发现两根 之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？
问题 3.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 x1，x2 与 a、
b、c 之间的关系：____________。
问题 4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的
问题，并作出推理证明。若方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为 x1=，x2= 。则 x1+x2= ；x1x2=
设 是方 程 的两个根。
∴
∴
【设计意图】
学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出 x1 和 x2 的值，接
下来将字母系数表示的 x1 和 x2 的值代入相应的代数式 x1+x2 和 x1x2 得出根系关系的结
论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀。
（二）尝试发展
试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为 x1，
x2、k 是常数）
（1）2x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= ________
（2）3x2+5x=0 x1+x2= _______ _ x1x2= ________
（3）-4x2+x-2=0 x1+x2= _________ x1x2= _________
（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= _________
【设计意图】
本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握
的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法
尝试题 1、已知方程 6x2+kx-5=0 的一个根为，求它的另一个根及 k 的值。
组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。
尝试题 2、利用根与系数的关系，求一元二次方程 3x2-3x-1=0 的两个根的（1）平方和，
（2）倒数和。
（三）归纳小结本课主要研究了什么？
1、方程的根是由系数决定的。
2、a≠0，且 b2-4ac≥0 时，方程 ax2+bx+c=0 的根为 x1、x2
3、a≠0，△≥0 时，x1+x2=，x1x2= 。
4、方程根与系数关系的有关应用。
（1）已知一根求另一根及 k 的值；（2）求有关代数式的值。六、设计说明:
一、 重视知识的连贯性，由浅入深，在旧知识上构建新知，激发学习兴趣，活跃学生
的学习活动。
在教学设计中，先复习一元二次方程的一般形式及求根公式，利用问题情境解方程，
一方面巩固前面所说的用公式法求一元二次方程，另一方面通过求出方程的两根，引导学生
探讨一元二次方程的两根和与两根之积和系数的关系。让学生自己动手，得出结论。这样做，
充分发挥了学生的主动性。
二、采用循序渐进的方法达到教学目标。先是解解方程（1）x2-5x+6=0 （2）2x2+5x+3=0
（2）3x2-2x-8=0
观察、思考两根和、两根积与系数的关系．
思考：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？
接着是利用求根公式推导一元二次方程一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）两根之和
与两根之积与系数的关系，做到由特殊到一般，从而得出最后的结论。在以前的教学设计中，
我们习惯于教师讲，学生听，学生自主探究的机会较少，我们先把一元二次方程根与系数的
关系告诉学生，之后再进行验证，学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力没
有被充分发挥出来，通过这次的教学设计，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动
过程，提高了推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识
和创新精神。最后是通过讲解例题和练习的方式让学生掌握一元二次方程根与系数的关系。
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