九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程导学案（新人教版）

1 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第 1 课时 传播问题与一元二次方程 学习目标：1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程. 2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系. 3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题. 重点：分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程来解决问题. 难点：正确分析问题（传播问题）中的数量关系. 一、知识链接 1.解一元二次方程的四种解法是什么？ 2.列方程解应用题的一般步骤是什么？ 二、要点探究 探究点 1：传播问题与一元二次方程 探究 1 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 想一想 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感? 典例精析 例 1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的 总数是 133，每个支干长出多少小分支? 讨论 1 在分析探究 1 和例 1 中的数量关系时它们有何区别？ 讨论 2 解决这类传播问题有什么经验和方法？ 方法归纳：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ (1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系． (2)“设”是指设未知数； (3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列 出含有未知数的等式，即方程； (4)“解”就是求出所列方程的解； (5)“验”就是对所得的解进行检验，得到实际问题的解． 自主学习 课堂探究2 例 2 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排 15 场比赛，则共有 多少个班级参赛？ 练一练 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了 10 次手，有多少人参加聚会？ 方法总结：握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以 2. 【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比 赛)，计划安排 72 场比赛，则共有多少个班级参赛？ 方法总结：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进 行的场数等于总场数列等量关系. 例 3 一个两位数，个位数字比十位数字大 3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多 少？ 方法总结：解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数. 三、课堂小结 列一元二次方程解应用题 的步骤 与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方是 要检验根的合理性. 传播问题 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量× (1+每 次传播数量) 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量 ×(1+每次传播数量)=传播前的量×(1+ 每次传播数量)2. 数字问题 关键要设数位上的数字，要准确地表示出 原数. 握手问题 甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行， 所以总数要除以 2. 列一元二次方程解应用题 的类型 互赠照片问 题 甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片， 故总数不要除以 2. - 当堂检测3 1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡 1980 张，问九年级一班共有多少名学生？设九年 级一班共有 x 名学生，那么所列方程为（ ） A. x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D. x(x-1)=1980 2.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支 的总数是 73，设每个支干长出 x 个小分支，根据题意可列方程为（ ） A. 1+x+x(1+x)=73 B. 1+x+x2=73 C. 1+x2=73 D. (1+x)2=73 3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有 2 人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染 x 人，经过两天传 染后 128 人患上甲肝，则 x 的值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议 书发表在自己的微博上，再邀请 n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 n 个互不相同的 好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有 111 个人参与了传播活动，则 n=______. 5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了 6 场，则初三有几个班？ 6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个 有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数 与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数. 参考答案 自主学习 知识链接 1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 1 24 2.设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验作答. 课堂探究 二、要点探究 探究点 1：传播问题与一元二次方程 探究 1 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得 x1=10, x2=-12 （不符合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了 10 个人. 想一想 第 1 种做法： 以 1 人为传染源,3 轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）. 第 2 种做法：以第 2 轮传染后的人数 121 为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）. 典例精析 例 1 解：设每个支干长出 x 个小分支，则 1+x+x2=133，即 x2+x-132=0.解得 x1=11, x2=-12（不合题 意，舍去）. 答：每个支干长出 11 个小分支. 讨论 1 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染. 讨论 2 （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 例 2 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行 x(x－1)场比赛，但每两班 之间只比赛一场，故根据题意得 解得 x1=6, x2=-5（舍去）. ∴x=6, 答：共有 6 个班级 参赛． 练一练 解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手 x(x－1)次，但每人都重复了一次， 故根据题意得 解得 x1=5, x2=-4（舍去）. ∴x=5.答：共有 5 个人参加聚会． 【变式题】解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得 解得 x1=9, x2=-8（舍去）. ∴x=9.答：共有 9 个班级参赛． 例 3 解：设这个两位数个位数字为 x ，则十位数字为(x－3)，根据题意得 x2=10(x-3)+x,解得 x1=5, x2=6. ∴x＝5 时，十位数字为 2，x＝6 时，十位数字为 3.答：这个两位数是 25 或 36. 当堂检测 1.D 2.B 3.D 4.10 5. 解：初三有 x 个班，根据题意列方程，得 化简，得 x2-x-12=0,解得 x1=4, x2=-3（舍 去）. 答：初三有 4 个班. 6.解：（1）设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌,60+60x+60(1+x)x=24000,∴x1=19, x2=-21（舍去）.∴ 每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌. （2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）. 7.解：设原来的两位数十位上的数字为 x，则个位数的数字为(5－ x)，依题意得(10 x+5－ x)[10(5－ x)+x]=736，解得 x1=2, x2=3.当 x＝2 时，5－x=3；当 x＝3 时，5－x=2.答：原来的两位数是 23 或 32. ( 1) 15,2 x x - = ( 1) 10,2 x x - = ( 1) 72,x x - = 1 ( 1) 6,2 x x - =