九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程第2课时平均变化率与一元二次方程导学案（新人教版）

1 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第 2 课时 平均变化率问题与一元二次方程 学习目标：1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. 重点：通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题. 难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. 一、知识链接 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 75 分，第二次月考增长了 20%，第三次月 考又增长了 20%，问他第三次数学成绩是多少？ 二、要点探究 探究点 1：平均变化率问题与一元二次方程 探究两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 6000 元.随着生产技术的进步， 现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 3600 元.哪种药品成本的年平均下降 率较大？ 典例精析 例 1 前年生产 1 吨甲产品的成本是 3600 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲产品的成本是 1764 元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 注意：下降率不可为负，且不大于 1. 变式：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率. （精确到 0.1%） 例 2 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课 堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生 20 万人次，第三批公益课受益学生 24.2 万 人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； 注意：增长率不可为负，但可以超过 1. 问题 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 自主学习 课堂探究2 方法归纳：若平均增长(或降低)百分率为 x，增长(或降低)前的是 a，增长(或降低)n 次后的量是 b，则它 们的数量关系可表示为 a(1±x)n=b(其中增长取“+”，降低取“－”). 例 3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元， 如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 探究点 2：营销问题与一元二次方程 练一练 1.假设某种商品的成本为每件 2 元，售价为 3 元时，可卖 100 件. (1)此时的利润 w= 元； (2)若售价涨了 1 元，每件利润为 元，同时少卖了 10 件，销售量为 件，利润 w= 元； (3)若售价涨了 2 元，每件利润为 元，同时少卖了 20 件，销售量为 件，利润 w= 元； (4)若售价涨了 3 元，每件利润为 元，同时少卖了 30 件，销售量为 件，利润 w= 元； (5) 若售价涨了 x 元，每件利润为 元，同时少卖了 件，销售量为 件，利润 w= 元. 想一想 若想售卖这种商品获取利润 300 元，则每件商品应涨价多少元？ 变式训练 假设某种糖的成本为每千克 8 元，售价为 12 元时，可卖 100 千克.若售价涨了 1 元，则少卖了 5 千克，要 想售卖这种糖果获取利润 640 元，且售价不高于成本价的 2.5 倍，则每千克糖应涨价多少元？ 注意：题目中有限定条件时，要注意取舍. 例 4 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 变式训练 增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要 盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 方法归纳： 用一元二次方程解决营销问题的一般步骤 1.设未知数 x,用含 x 的代数式表示销量、单件利润； 2.根据利润=销量×单件利润列方程； 3.解方程； 4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍. 5.作答. 三、课堂小结3 增长率问题 a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量. 平均变化率问题 降低率问题 a(1－x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量.注意 1 与 x 位置不 可调换. 营销问题 总利润=单件利润×销量=（售价-进价）×销量 1.某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨,平均每月增长率是 x，列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2.某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元，若设该校今明两年在实验器 材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为 . 3.青山村种的水稻去年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求水稻每公顷产量的年平 均增长率. 4.百佳超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销售量就 要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该 蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率； (2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打 九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 能力提升 为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为 25 万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量 y（台）和销售单价 x（万元）满足如图所示的一次函数关 系． （1）求月销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 35 万元，如果该公司想获得 130 万元的月利润，那么该 设备的销售单价应是多少万元？ 当堂检测4 参考答案 自主学习 知识链接 75×（1+20%）（1+20%）=108（分），即小明第三次数学成绩是 108 分. 课堂探究 二、要点探究 探究点 1：平均变化率问题与一元二次方程 探究 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本为 5000(1-x)元，两年后甲种药 品成本为 5000(1-x)2 元，于是有 5000(1-x)2=3000，解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775.根据问题的实际 意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%.设乙种药品成本的年平均下降率为 y，则一年后甲种药品 成本为 6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为 6000(1-y)2 元，于是有 6000(1-y)2=3600，解方程，得 y1≈ 0.225， y2≈1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5%.由上可知，甲乙两种 药品的下降额不同，但是下降率相同. 典例精析 例 1 解：设甲种药品的年平均下降率为 x.根据题意，列方程，得 5000(1-x)2= 3000，解方程，得 x1≈ 0.225=22.5%，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5％. 变式：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解这个方程，得 （舍去）， 答：每次降价的百分率为 29.3%. 例 2 解：设增长率为 x，根据题意，得 20（1+x）2=24.2.解得 x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%． 答：增长率为 10%. 例 3 解：设这个增长率为 x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950.整理方程，得 4x2+12x-7=0， 这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5=50%． 答：这个增长率为 50%. 探究点 2：营销问题与一元二次方程 练一练 （1）100 （2）2 90 180 （3）3 80 240 （4）4 70 280 （5）(1+x) 10x (100-10x) (1+x)(100-10x) 想一想 解：设售价涨了 x 元，依题意得(1+x)(100-10x)=300，解得 x1=4,x2=5. 即当每件商品涨价 4 元或 5 元时，能获得 300 元利润. 变式训练 解：设售价涨了 x 元，依题意得(4+x)(100-5x)=640，解得 x1=4,x2=12.∵售价不高于成本价的 2.5 倍，即 x+12≤2.5×8.∴x≤8.∴x=4.即每千克糖应涨价 4 元. 例 4 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200， 整理得 x2-30x+200=0. 解方程得 x1=10，x2=20. 答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元. 变式训练 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200，整理得，x2-30x+200=0. 解方程得 x1=10， x2=20. 因为要尽快减少库存，所以 x=10 舍去. 答：每件衬衫应降价 20 元. 当堂检测 1.B 2.2(1+x)+2(1+x)2=8 3.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为 x,根据题意，得 7200(1+x)2=8712，系数化为 1 得(1+x)2=1.21. 直接开平方得，1+x=1.1，1+x=-1.1.则 x1=0.1= 10%，x2=-2.1(舍去). 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%. 4.解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则(500－10x)· [(50+x)－ ( ) 2 11 .2x- = 1 21 12x = + > 2 21 29.3%.2x = - »5 40]=8000，整理得 x2－40x+300=0， 解得 x1=10，x2=30 都符合题意. 当 x=10 时，50+x =60，500－10 x=400；当 x=30 时，50+x =80， 500－10 x=200. 答：要想赚 8000 元，售价为 60 元或 80 元；若售价为 60 元，则进货量应为 400；若售价为 80 元，则进货 量应为 200 个. 5.解：（1）设平均每次下调的百分率为 x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2，解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）∴ 平均每次下调的百分率为 20%； （2）解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方 案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠. 能力提升 解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b，依题意得 解得 所以 y 与 x 的函数关系式为 y=-5x+200． （2）依题知（x-25）（-5x+200）=130．整理方程，得 x2-65x+1026=0．解得 x1=27，x2=38．∵此设备的 销售单价不得高于 35 万元，∴x2=38（舍），所以 x=27． 答：该设备的销售单价应是 27 万元． 60 28 , 40 32 , k b k b ì = +ïí = +ïî 5, 200. k b ì = -ïí =ïî