2.2 用配方法求解一元二次方程（二).doc

1 第二章 一元二次方程 ２．用配方法求解一元二次方程（二） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以 及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为 1 的一元 二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为 1 的方程打下较好的基础。 学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为 1 的方程 的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的 活动经验基础。 二、教学任务分析 在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为 1 的 一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。这节课内容从属于“方 程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让 学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关 系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为 此，本节课的教学目标是： ①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能； ②经历用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程的过程，体会其中 的化归思想； ③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意 义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力. 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引 入；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第2 六环节：布置作业。 第一环节 复习回顾 活动内容：回顾配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的基本步骤。 活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为 1 的二次 方程的解法打下基础。 实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾 并整理步骤，例如，x2-6x-40=0 移项，得 x2-6x= 40 方程两边都加上 32(一次项系数一半的平方），得 x2-6x+32=40+32 即 （x-3）2=49 开平方，得 x-3 =±7 即 x-3=7 或 x-3=-7 所以 x1=10,x2=-4 学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤： 通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步 的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。 配方法的两节课连贯性强，作为一种新的方法，学生在新授期间应多接触， 熟练掌握基本的步骤，掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的 驾驭能力。一般的一元二次方程配方解法的步骤（移项，配方，开平方，求 解）及注意事项。移项的目的是将二次项和一次项调整到等号的左边，常数 项调整到右边；配方是将方程的两边添加一个常数项（一次项系数一半的平 方）原理是根据公式 a ＋2ab＋b ＝（a＋b） 进行的；开平方的原理是平 方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们是互为相反数；求解的 过程是解两个一元一次方程，要注意符号的变化。 第二环节：情境引入 活动内容：1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答. 2 2 23 1.x2+2x+________=(x+______)2 2.x2-4x+________=(x-______)2 3.x2+________+36=(x+______)2 4.x2+10x+________=(x+______)2 5. x2-x+________=(x-______)2 2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别 1.x2+6x+8=0 2.3x2+18x+24=0 探讨方程 2 的应如何去解呢？ 活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三 项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程 2 的二次项系 数为 3，不符合上节课解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以 3 以后， 这两个方程式同解方程。学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为 1 的方程的解法有了初步的感受和思路。 实际效果：学生对第一部分五个口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进 入了积极学习的状态；比较第二部分中两个方程系数之间的区别与联系，学 生们发现二次项系数为 1 仅是方程中的一小部分，怎样将其它类型的方程转 化成这类方程非常关键，这个比较也点明了转化的方向和思路，为后续解这 个方程做好了充分的铺垫，学生解决它已是轻车熟路的事情。 第三环节：讲授新课 活动内容 1：讲解例题 例 2 解方程 3x2+8x-3=0 解：方程两边都除以 3，得 移项，得 配方，得 013 82 =−+ xx 13 82 =+ xx4 活动目的：通过对例 2 的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程. 让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,关键是将方程转 化成 形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常 数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心。 另外，得到 后，在移项得到 要注意符号问题，这一 步在计算过程中容易出错。 实际效果：经过这一环节，学生对配方法的特点有了深入的了解，通过例题 的处理，进一步把握了配方法的基本思路，熟悉了其步骤。 活动内容 2：应用提高： 做一做：一小球以 15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m)与时 间 t(S)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到 10 米的高度？ 解：根据题意得 15t-5t2=10 方程两边都除以-5，得 t2-3t=-2 配方，得 )0()( 2 ≥=+ nnmx 3 4 3 5 −±=x 22 2 3 413 4 3 8     +=    ++ xx 9 25 3 4 2 =     +x 3,3 1,3 5 3 4 21 −==±=+ xxx 3 5 3 4 ±=+x 22 2 2 322 33     +−=    +− tt 4 1 2 3 2 =     −t5 活动目的：在前边学习的基础上，通过例 3 进一步提高学生分析问题,解决问 题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做 好铺垫。 实际效果：大部分学生通过独立思考，根据题意很快列出了方程，解方程的 过程比较顺畅，最终得到两个时间 t 的值分别为 1 和 2，根据实际情景怎样 理解这两个时间呢？这就是很好的数学应用，体现数学的价值，很多学生能 想象出当时间为 1 秒时，小球上升到离出发点 10 米的地方，当时间为 2 秒钟 时，小球是处于下降状态，离出发点也是 10 米，激发了学生学习数学的热情。 第四环节：练习与提高 活动内容：课本习题 2.4 问题解决 2. 印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之 一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多 少，两队猴子在一起？大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八 分之一的平方，另一队猴子数是 12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这 个问题。 解：可设猴子的总数是 x，由题意可得 ( x)2+12=x 解得 x1=16 x2=48 答：这群猴子可能是 16 只，也可能是 48 只。 活动目的：对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅 读能力、数学建模能力。 实际效果：这个题中的等量关系不易发现，课堂上，我给学生们适当的空间， 培养学生独立思考的习惯，然后鼓励思维敏捷的同学展示自己的思路，用学 8 1 2 1 2 3 ±=−t 1,2 21 == tt6 生的语言带动学生们学习。 第五环节：课堂小结 活动内容：1.学生总结解一元二次方程的基本步骤； 2.利用一元二次方程解决实际问题的思路，对于结果的理解。 活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想。 实际效果：学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了配方法的基 本思路和过程。 第六环节：布置作业 ⑴课本 42 页习题 2.4 第 1 题； ⑵一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压 p（毫米 汞柱）与年龄 x（岁）大致满足关系：p=0.01x2+0.05x+107.如果一个女性的 收缩压为 120 毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？ ⑶有能力的同学请课余时间用配方法交流探究方程： ax2+bx+c=0 (a 不为 0) 的解法. 四、教学反思 1、创造性的使用了教材： 这节课作为配方的第二节主要是以习题训练为重点，所以我依照书上的 例题为重点展示了解方程的基本步骤，另外，添加了辅助性的 3 个习题；将 书上的做一做转化成一个例题，让学生体会利用一元二次方程解决问题的感 受；另在作业中配套了一道血压方面的数学问题，学生可以体会到一元二次 方程与我们的现实生活息息相关。 2、注意改进的方面 基础较好的学生对于基础性的计算比较快，与此同时，班级中的有 7—8 名学生对于数据计算有懒惰的思想，速度慢，时间长，如果不能及时解决， 这部分学生将落队，或者整节课堂冗长无味，因此如何调控教学进度成为教 学中的一个难点。我的办法是老师准备好几个不同层次的习题，当大部分学7 生做完后，可以为他们提供更高层次的习题，继续引领他们的思维前进，而 加强对基础薄弱的同学动手动脑的监督。