2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学设计.doc

1 第二章 一元二次方程 ４．用因式分解法求解一元二次方程 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、 可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次 方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了因式分解，掌握 了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中 又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法 求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力， 也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历 了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能 力。 二、教学任务分析 教科书基于用因式分解法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法 的基础之上，提出了本课的具体学习任务：能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x－ a)=0”和“x2－a2=0”的特殊一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者 说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的 课堂教学也应满足于远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学 任务产生实质性联系。本课《因式分解法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习 领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“经历由具体问题抽象出一元二次方程的 过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并在解一元二次方程 的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。” 同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是： 知识与技能目标2 1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的 多样性； 2、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次 方程； 3、通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的 思想。 过程与方法目标 1、通过学生探究一元二次方程的解法，使学生知道分解因式法是解一元二次方程 的一种简便、特殊的方法，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程； 2、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角 度解决问题的方 法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。 情感与态度目标 1、经历观察，归纳分解因式法解一元二次方程的过程，激发好奇心； 2、进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态度和主 动参与、合作交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入，探究新知； 第三环节：例题解析；第四环节：巩固练习；第五环节：拓展延伸；第六环节：感悟与收 获；第七环节：布置作业。 第一环节：复习回顾 内容：1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。 2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。 3、选择合适的方法解下列方程： ①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0 目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接 前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。3 实际效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“n≥0”。 第二问题由于较简单，学生很快回答出来。 第三问题由学生独立完成，通过练习学生复习了配方法及公式法，并能灵活应用， 提高了学生自信心。 第二环节：情景引入、探究新知 内容：1、师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？ 生：齐答行。 师：出示问题，一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果能，这个数是 几？你是怎样求出来的？ 说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。 附：学生 A：设这个数为 x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴x2-3x=0 ∵a=1,b= -3,c=0 ∴ b2-4ac=9 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是 0 或 3。 学生 B：:设这个数为 x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 x2-3x+(3/2)2=(3/2) 2 (x-3/2) 2=9/4 ∴ x-3/2=3/2 或 x-3/2= -3/2 ∴ x1=3, x2=0 ∴这个数是 0 或 3。 学生 C：:设这个数为 x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 即 x(x-3)=0 ∴ x=0 或 x-3=04 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是 0 或 3。 学生 D：设这个数为 x，根据题意，可列方程 x2=3x 两边同时约去 x,得 ∴ x=3 ∴ 这个数是 3。 2、师：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题? 你认为那种方法更合适?为什么? 说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的 参与情况。 超越小组：我们认为 D 小组的做法不正确,因为要两边同时约去 X,必须确保 X 不等于 0, 但题目中没有说明。虽然我们组没有人用 C 同学的做法,但我们一致认为 C 同学的做法最好, 这样做简单又准确. 学生 E：补充一点，刚才讲 X 须确保不等于 0，而此题恰好 X=0,所以不能约去，否则 丢根. 师：这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密，相信下面同学的回答会一个比一个 棒!(及时评价鼓励，激发学生的学习热情) 3、师：现在请 C 同学为大家说说他的想法好不好? 生：齐答好 学生 C：X(X-3)=0 所以 X1=0 或 X2=3 因为我想 3×0=0, 0×(-3)=0 ， 0×0=0 反过来， 如果 ab=0,那么 a=0 或 b=0,所以 a 与 b 至少有一个等于 0 4、师：好，这时我们可这样表示： 如果 a×b=0,那么 a=0 或 b=0 这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程 时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。 所以由 x(x-3)=0 得到 x=0 和 x-3=0 时，中间应写上“或”字。 我们再来看 c 同学解方程 x2=3x 的方法，他是把方程的一边变为 0，而另一边可以分解成 两个因式的乘积，然后利用 a×b=0,则 a=0 或 b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而 求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即 当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用 因式分解法来解一元二次方程。5 目的：通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解 法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生 尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.问题 3 和 4 进一步点明了因式分解的理 论根据及实质,教师总结了本节课的重点. 实际效果：对于问题 1 学生能根据自己的理解选择一定的方法解决，速度比较快。第 2 问让学生合作解决，学生在交流中产生了不同的看法，经过讨论探究进一步了解了分解因式 法解一元二次方程是一种更特殊、简单的方法。C 同学对于第 3 问的回答从特殊到一般讲解 透彻，学生语言学生更容易理解。问题 4 的解决很自然地探究了新知——因式分解法.并且也 点明了运用因式分解法解一元二次方程的关键：将方程左边化为因式乘积,右边化为 0，这为 后面的解题做了铺垫。 说明：如果 ab=0，那么 a=0 或 b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两 种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。 第三环节 例题解析 内容：解下列方程 (1)、 5X2=4X (仿照引例学生自行解决) (2)、 X-2=X(X-2) (师生共同解决) (3)、 (X+1)2-25=0 (师生共同解决) 学生 G：解方程（1）时，先把它化为一般形式，然后再因式分解求解。 解：（1）原方程可变形为 5X2-4X=0 ∴ X(5X-4)=0 ∴ X=0 或 5X-4=0 ∴ X1=0, X2=4/5 学生 H：解方程（2）时因为方程的左、右两边都有(x-2),所以我把(x-2)看作整体， 然后移项，再因式分解求解。 解：(2)原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 ∴ (X-2)(1-X)=0 ∴ X-2=0 或 1-X=0 ∴ X1=2 ， X2=1 学生 K：老师，解方程（2）时能否将原方程展开后再求解6 师：能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便。 学生 M：方程(x+1) 2- 25=0 的右边是 0，左边(x+1) 2-25 可以把(x+1)看做整体，这样左 边就是一个平方差，利用平方差公式即可因式分解。 解：(3)原方程可变形为 [(X+1)+5][(X+1)-5]=0 ∴ (X+6)(X-4)=0 ∴ X+6=0 或 X-4=0 ∴ X1=-6 ， X2=4 师：好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的 是因式分解法。由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为 主。 问题：1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么? (小组合作交流) 2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解? (课下交流完成) 目的：例题讲解中,第一题学生独自完成,考察了学生对引例的掌握情况,便于及时反馈。 第 2、3 题体现了师生互动共同合作，进一步规范解题步骤,最后提出两个问题。问题 1 进一 步巩固因式分解法定义及解题步骤，而问题 2 体现了解题的多样化。 实际效果：对于例题中(1)学生做得很迅速,正确率比较高；(2)、(3)题经过探究合作最 终顺利的完成,所以学生情绪高涨,讨论热烈,思维活跃,正是因为这，问题 1、2 学生们有见地 的结论不断涌现，叙述越来越严谨。 说明：在课本的基础上例题又补充了一题,目的是练习使用公式法因式分解。 第四环节：巩固练习 内容：1、解下列方程：（1） (X+2)(X-4)=0 (2 ) X2-4=0 (3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1) 2、一个数平方的两倍等于这个数的 7 倍，求这个数？ 目的：华罗庚说过“学数学而不练,犹如入宝山而空返”该练习对本节知识进行巩固，使 学生更好地理解所学知识并灵活运用。 实际效果：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习基本能用因式分解 法解一元二次方程，收到了较好的效果。7 第五环节 拓展与延伸 师：想不想挑战自我？ 学生：想 内容：1、一个小球以 15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度 h(m)，与时间 t(s) 满足关系：h=15t-5t2 小球何时能落回地面？ 2、一元二次方程（m-1）x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0 有一个根为 0，求 m 的值 说明：a 学生交流合作后教师适当引导提出两个问提，1、第一题中小球落回地面是什么 意思？2、第二题中一个根为 0 有什么用？ b 这组补充题目稍有难度,为了激发优秀生的学习热情。 目的：学生在对因式分解法直接感知的基础上，在头脑加工组合，呈现感知过的特点， 使认识从感知不段发展，上升为一种可以把握的能力。同时学生通过独立思考及小组交流， 寻找解决问题的方法，获得数学活动的经验，调动了学生学习的积极性，也培养了团结协作 的精神，使学生在学习中获得快乐，在学习中感受数学的实际应用价值。 实际效果：对于问题 1，个别学生不理解问题导致没列出一元二次方程；问题 2 由于在配 方法时接触过此类型的题目，因此掌握比较不错。 说明：小组内交流时，教师关注小组中每个学生的参与积极性及小组内的合作交流情况。 第六环节 感悟与收获 内容：师生互相交流总结 1、因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键。 2、在应用因式分解法时应注意的问题。 3、因式分解法体现了怎样的数学思想? 目的：鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。 实际效果：学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳概括能力和语言表达能力；同 时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。 第七环节 布置作业 课本 49 页习题 2.7 1、2 题。 四、教学反思 1. 评价的目的是为了全面了解学生的学习状况,激励学生的学习热情,促进学生的全面发展.8 所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动的思考,能否清楚的表达自己的观点,及 时发现学生的闪光点,给予积极肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和应用数学 知识解决问题的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度 2. 这节课的“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际生活中的应用.拓展了学生的思 路,培养了学生的综合运用知识解决问题的能力. 3. 本节中应着眼干学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中 应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力的目标.