2.5 一元二次方程的根与系数的关系.doc

1 第二章 一元二次方程 5．一元二次方程的根与系数的关系 一、学生知识状况分析 “一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程 的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根 公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他 们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示 一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的 教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。 二、教学任务分析 本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺 垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识， 合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定 理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通 过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以 进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组； 韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以 培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习 方程理论打下基础。为此，确定本节课的教学目标为： 1、理解掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根 x1，x2 与系数 a、b、c 之间的关系。 2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根， 以及方程中的未知数。2 3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。 4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的 思想与方法。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入； 第三环节：探究新知；第四环节：尝试发展；第五环节：拓展创新；第六环节： 感悟与收获；第七环节：布置作业。 第一环节：复习回顾 内容： 1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a≠0)（板书） 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ (△=b2-4ac≥0) 3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ 4、一元二次方程的求根公式是什么？ 目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识， 有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。 效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”。 后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。 第二环节：情景引入3 内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程 的两根和与两根积？ （1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0 （3） 2x2-3x +1=0 目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。 效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。自然引 出本节课要学习的课题 第三环节：探究新知 内容： 计算填表（验证第一环节游戏的结果） 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2+3x+4=0 6x2+x-2=0 2x2-3x +1=0 问题： 1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？ 2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不 是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？ 3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 x1，x2 与 a、b、c 之间的关系：____________。 4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。 （分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）4 目的：本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生 既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系 数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。 效果：在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后面的问题做 好了准备。问题串让学生合作解决，在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践 到理论的认知规律。 第四环节：尝试发展 尝试题 1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积 （方程两根为 x1，x2、k 是常数） （1）2x2-3x-1=0 x1+x2= ________ x1x2= ________ （2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= ________ （3）x2+7x=-6 x1+x2= _________ x1x2= _________ （4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= _________ （学生迅速演算或口算） 尝试题 2：利用根与系数的关系，求一元二次方程 2x2-3x+5=0 的两个根的 （1）平方和 （2）倒数和 （3）差5 尝试题 3：已知方程 6x2+kx-5=0 的一个根为 1，求它的另一个根及 k 的值。 目的：“尝试题 1”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”， 其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设 计。 “尝试题 2” 将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式。例如： x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; “尝试题 3” 展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数 的关系来解决此类问题比较简便。 效果：1、两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学 生的易错点 2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟 练的掌握。 3、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择 优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经 验。 第五环节：拓展创新 1．已知三角形的两边长 a、b 是方程 x2-12x+k==0 的两个根，三角形的第三 条边 c=4,求这个三角形的周长。 2、变式训练： 已知三角形的两边长 a、b 是方程 x2-12x+k==0 的两个根，三角形的第三条 边 c 能等于 15 吗？6 3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为 2 和 3. 目的：1、第 1、2 题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系相组 合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力。 2、第 3 题已知方程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系 数的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。同时要注意答案的多 样性及其中的规律 效果：留给学生充分的独立思考和小组合作交流的时间与空间，使学生在资 源共享的同时，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷， 第六环节 感悟与收获 内容：师生互相交流总结 在方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c 有哪些作用？ ①二次项系数 a 是否为零，决定着方程是否为二次方程； ②当 a≠0 时，b=0，a、c 异号，方程两根互为相反数； ③当 a≠0 时，△=b2-4ac 可判定根的情况 ④当 a≠0，b2-4ac≥0 时，x1+x2= ，x1x2= ⑤当 a≠0，c=0 时，方程必有一根为 0。 目的：鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获， 解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人 已有的知识体系中。 效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑 思维能力，提高了推理技能。 7 第七环节 布置作业 P52 A 知识技能 1 B 数学理解 3 C、已知方程 的一个根为 2，求另一个根及 的值。 学法指导 本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想 ——证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发 生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。 指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。