2.6.应用一元二次方程（第一课时）教学设计.doc

1 第二章 一元二次方程 6．应用一元二次方程（一） 一、学生知识状况分析 学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生， 对于实际问题的应用，虽然在七、八年级学生已经进行了有关的训练，但还是有 一定的难度。 由于本节内容针对的学习者是九年级上学期的学生，已经具备了一定的生活 经验和初步的解一元二次方程的经验，乐意并能够与同伴进行合作交流。 二、教学任务分析 本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生 应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解 决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本 节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程 中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显 然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题 解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是： 知识目标： 通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性， 并总结运用方程解决实际问题的一般过程。 能力目标： 1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的 一个有效的数学模型； 2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义 检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力； 情感态度价值观：④在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展 学生合作交流的意识和能力。2 三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节： 做一做，探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第 五环节：布置作业。 第一环节；回忆巩固，情境导入 活动内容：提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的问 题吗？ ①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动 的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端 滑动的距离和它相等呢？ ②如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子 底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 分组讨论： ①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理 来列方程？ ②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底 是多少。 活动目的：以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中 边长的关系为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知 识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。 活动的实际效果：大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上 述问题进行思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果， 而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的 基础。3 第二环节 做一做，探索新知 活动内容：见课本 P53 页例 1： 如图：某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位 于 AC 的中点，岛上有一补给码头。小岛 F 位于 BC 中 点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘 补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航 行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到 0.1 海里） 该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析 各量之间的关系，不能粗线条解决。在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找 准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，之后求解。 解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时 间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知 条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它 们之间的关系。 在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点： （1）要求 DE 的长，需要如何设未知数？ （2）怎样建立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ （3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ （4）选定 后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？ 学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即： 速度等量：V 军舰=2×V 补给船 时间等量：t 军舰=t 补给船 三边数量关系： 弄清图形中线段长表示的量：已知 AB=BC=200 海里，DE 表示补给船的路程，AB ＋BE 表示军舰的路程。 DEFRt∆ 222 DEFDEF =+4 学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：DE、EF 的长，根据勾 股定理列方程求解，并判断解的合理性。 巩固练习： 1、一个直角三角形的斜边长为 7cm，一条直角边比另 一条直角边长 1cm，那么这个直角三角的面积是多少？ 2、如图：在 Rt△ACB 中，∠C=90°，点 P、Q 同时由 A、B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的 速度都是 1m/s，几秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一 半？ 3、在宽为 20m，长为 32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的 三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂 直），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验 田面积为 570 平方米，问道路应为多宽？ 说明：三个题目的设计从简单问题入手，通过勾股定理解决直角三角形边长 问题；第 2 题构造了一个可变的直角三角形，解决面积问题；第三题也是面积问 题，在这个问题中常设道路宽为 x 米，其中两条长为 20 米，一条长为 32 米，但 要注意路的交叉部分。 引导学生通过转变图形进行思考：若将图中的三 条路分别向上和向右平移到如图所示的位置，应怎样列 方程求解？结果一样吗？哪种方法更简单？ 活动目的：一元二次方程的应用问题的类型较多，像数字问题、面积问题、 平均增长（或降低）率问题、利润问题、数形结合问题等；本节课以教材上的引 例作为出发点，作为素材来呈现，可以将应用类型作适当的拓展，在练习中将教 材中的应用问题归类呈现出来，便于学生理解和掌握。本课由数形结合问题拓展 到面积问题，后面可以在练习中增加数字问题，在第二课时在利润问题上也可增 加平均增长率问题等，为学生呈现更多的应用类型，让学生在不同的情境中体会 建模的重要性。由于本节“一元二次方程的应用”与九年级下册中的“二次函数” A Q B 8cm C 6cm P5 的应用联系密切，所以学好本节课可以为后续知识打下坚实的基础。 活动实际效果：应用问题设置都经过精心准备。通过问题串的设立，将比较 复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难， 体会到列方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系； 正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看， 学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。 第三环节：练一练，巩固新知 活动内容：1、在一块正方形的钢板上裁下宽为 20cm 的一个长条，剩下的 长方形钢板的面积为 4800 cm2。求原正方形钢板的面积。 2、有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 3、《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率 三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知 甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3。乙一直向东走， 甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时， 甲、乙各走了多远？ 活动目的：通过三道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运 用所学知识的程度。 在教学过程中要以学生为主体，引导学生自主发现、合作 交流。 活动实际效果：学生在前面活动中积累的经验，可以帮助学生比较顺利地 分析上述问题，遇有疑难可以让学生在合作交流中解决，学生在训练过程中更加 理解了建模的重要性．大部分学生能够独立解决问题。 第四环节：收获与感悟 活动内容： 问题： 1、列方程解应用题的关键 2、列方程解应用题的步骤 3、列方程应注意的一些问题6 让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。 活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些 提高，还有什么疑难问题希望得到解决，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳 入到学生个人已有的知识体系中；通过对三个问题的解决，加深学生利用方程解 决实际问题的意识和提高解题的能力；并且通过学生间的合作学习帮助不同层次 的孩子解决实际困难，增强孩子学好数学的信心。 活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程 解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。 第五环节：布置作业 1、甲乙两个小朋友的年龄相差 4 岁，两个人的年龄相乘积等于 45，你知道 这两个小朋友几岁吗？ 2、一块长方形草地的长和宽分别为 20m 和 15m，在它四周外围环绕着宽度 相等的小路，已知小路的面积为 246㎡，求小路的宽度。 3、有一个两位数等于其数字之积的 3 倍，其十位数字比个位数字小 2，求 这两位数。 选作题（供学有余力的学生选作）： 一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，途中接到 台风警报，台风中心正以 40 海里/时的速度由南向北移动， 距台风中心 20 海里的圆形区域(包括边界)都属台风区. 当轮船到 A 处时，测得台风中心移到位于点 A 正南方向 B 处，且 AB=100 海里.若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行， 在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到 台风的时间；若不会，请说明理由. 四、学法指导 本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七八年级已经进 行过方程应用的训练，对于方程的实际应用并不陌生，虽然学生已经进行了一定 的训练，但本课对学生而言还是有一定的难度。本课采用启发式、问题讨论式、 10 东 北 B A7 合作学习相结合的方式,引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的 素材为基础，引导学生对旧知识进行迁移，找出解决问题的新的途径和方法；学 生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生的学习积极性，可以更好地根 据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律。无论是例题的分析还是练 习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智 的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误 区，更好地进行学习指导。