3.1用树状图或表格求概率(一).doc

1 第三章 概率的进一步认识 3.1 用树状图或表格求概率(一) 一、学生知识状况分析 七年级下学期学生在学习第六章“概率初步”时，已经通过试验、统计等活 动感受随机事件发生的频率的稳定性即“当试验次数很大时，事件发生的频率稳 定在相应概率的附近”，了解到事件的概率，体会到概率是描述随机现象的数学模 型。本章在此基础上结合具体的情景，让学生经历猜测、试验、收集试验数据、 设计试验方案、分析试验结果等活动过程，进一步让学生体会数学在生活中的价 值及发展合作意识。 二、教学任务分析 本课时介绍两种计算概率的方法——树状图和表格法; 要求会借助树状图和 表格法计算简单的事件发生概率．为此建立教学目标如下： 1．知识与技能目标： ①进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率. ②会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率． 2．方法与过程目标： 合作探究，培养合作交流的意识和良好思维习惯. 3.情感态度价值观 积极参与数学活动,提高自身的数学交流水平，经历成功与失败，获得成功感， 提高学习数学的兴趣.发展学生初步的辩证思维能力． 教学重点：借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率． 教学难点：理解两步试验中“两步”之间的相互独立性，进而认识两步试验 所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性.正确应用树状图和列表法计算2 涉及两步试验的随机事件发生的概率． 三、教学过程分析 本节设计五个教学环节 第一环节：温故而知新，可以为师矣 第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园 第三环节：会当凌绝顶，一览众山小 第四环节：问渠哪得清如许 为有源头活水来 第五环节：学而时习之，不亦乐乎． 第一环节：温故而知新，可以为师矣 问题再现：小明和小凡一起做游戏。在一个装有 2 个红球和 3 个白球(每个球 除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜。 （1）这个游戏对双方公平吗？ （2）在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的？如果是你，你会 设计一个什么游戏活动判断胜负？ 遇到了新问题：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票。 三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影。游戏规则如下： 连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面 朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜。 你认为这个游戏公平吗？（如果不公平，猜猜谁获胜的可能性更大？） 设计目的：使学生再次体会“游戏对双方是否公平”，并由学生用自己的语言 描述出“游戏公平吗”的含义是游戏的双方获胜的概率要相同。同时，巧妙的利 用一个“如果是你，你会设计一个什么游戏活动判断胜负？”的问题，引发学生 的思考及参与的热情，如果学生说出“掷硬币”的方法，自然引出本节课的内容。 第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园3 活动内容：（1）每人抛掷硬币 20 次，并记录每次试验的结果，根据记录填 写下面的表格： 抛掷的结果 两枚正面朝上 两枚反面朝上 一枚正面朝上、一枚反面朝上 频数 频率 （2）5 个同学为一个小组，依次累计各组的试验数据，相应得到试验 100 次、200 次、300 次、400 次、500 次……时出现各种结果的频率，填写下表，并绘制成 相应的折现统计图。 试验次数 100 200 300 400 500 … 两枚正面朝上的次数 两枚正面朝上的频率 两枚反面朝上的次数 两枚反面朝上的频率 一枚正面朝上、一枚反面朝上的次数 一枚正面朝上、一枚反面朝上的频率 （3）由上面的数据，请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚 正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率。由此，你认为这个游戏公平吗？ 活动体会：从上面的试验中我们发现，试验次数较大时，试验频率基本稳定， 而且在一般情况下，“一枚正面朝上。一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事 件发生的概率。所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利。 深入探究：在上面抛掷硬币试验中， （1）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ （2）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ （3）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们 发生可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？ 请将各自的试验数据汇总后，填写下面的表格：4 抛掷第一枚硬币 抛掷第二枚硬币 正面朝上的次数正面朝上的次数 反面朝上的次数 正面朝上的次数反面朝上的次数 反面朝上的次数 表格中的数据支持你的猜测吗？ 探究体会：由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和“反 面朝上”的概率相同。无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时 出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的。所以，抛掷两枚均匀的硬 币，出现的（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）四种情况是等可能的。 因此，我们可以用下面的树状图或表格表示所有可能出现的结果： 其中，小明获胜的结果有一种：（正，正）。所以小明获胜的概率是 ； 小颖获胜的结果有一种：（反，反）。所以小颖获胜的概率也是 ； 小凡获胜的结果有两种：（正，反）（反，正）。所以小凡获胜的概率是 。 因此，这个游戏对三人是不公平的。 4 1 4 1 4 25 利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗留地列出所有可能的结果，从而 比较方便地求出某些事件发生的概率。 活动目的：对于随机现象，学生一般都有一些朴素的想法，这些想法有的是 正确的，有的是错误的，因此要让学生亲自经历对随机现象的探索过程，亲自经 历猜测、试验、收集试验数据、设计试验方案、分析试验结果等活动过程，以获 得事件发生的概率。了解随机现象的特点，了解概率的意义，树立试验探究的观 念，这是概率教学的核心思想。 第三环节：会当凌绝顶，一览众山小 活动内容 1：准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字 分别是 1 和 2.从每组牌中各摸出一张牌，称为一次试验。 （1）一次试验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？ （2）（同位合作试验）依次统计试验 30 次、60 次、90 次的牌面情况，填写下表： 第一张牌的牌面数字 第二张牌的牌面数字 第二张牌的牌面数字为 1 的次数第一张牌的牌面数 字为 1 的次数 第二张牌的牌面数字为 2 的次数 第二张牌的牌面数字为 1 的次数第一张牌的牌面数 字为 2 的次数 第二张牌的牌面数字为 2 的次数 （3）依次统计试验 30 次、60 次、90 次时两张牌的牌面数字和分别等于 2,3,4 的 频率，填写下表。 试验次数 30 60 90 两张牌的牌面数字和等于 2 的频率 两张牌的牌面数字和等于 3 的频率 两张牌的牌面数字和等于 4 的频率 （4）你认为两张牌的牌面数字和为多少的概率最大？ （5）请你估计，两张牌的牌面数字和等于 3 个概率是多少？ （6）请你利用本节课学习的树状图或表格，计算两张牌的牌面数字和等于 3 个概 率，验证（5）中你的估计。6 解：方法一：（1）一次试验中．两张牌的牌面数字的和等可能的情况有： 1+1＝2；1+2＝3；2+1＝3；2+2＝4． 共有四种情况．而和为 3 的情况有 2 种，因此， P(两张牌的牌面数字和等于 3)= ＝ . 两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况，而 两张牌的牌面数字和为 3 的情况有 2 次，因此．两张 牌的牌面数字的和为 3 的概率为 ＝ ． 方法二：两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况， 也可以用树状图来表示而两张牌的牌面数字和为 3 的情况有 2 次，因此．两张牌的牌面数字的和为 3 的概率为 ＝ ． 方法三：通过列表的方式 活动内容 2：（回归开始的问题类型，加以巩固提升本节课知识） 一个盒子中装有一个红球、一个白球。这些球除颜色外都相同，从中随机地 摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球。求： （1）两次都摸到红球的概率； （2）两次摸到不同颜色球的概率； （3）只有一张电影票，通过做这样一个游戏，谁获胜谁就去看电影。如果是 你，你如何选择？ 第二张牌面数字 第一张牌面数字 1 2 1 2 4 2 2 1 4 2 2 1 4 2 2 17 如果学生没想到这些方法，教师可以以呈现表格、或者提问的方式等引出这 些不同的求法，从而引出列表法.用树状图或表格,知道利用这些方法，可以方便 地求出某些事件发生的概率.在借助于树状图或表格求某些事件发生的概率时,必 须保证各种情况出现的可能性是相同的． 活动效果及注意事项:学生一般都会用树状图或表格求出某些事件发生的概 率,也能体会到这种方法的简便性,但是容易忽略各种情况出现的可能性是相同的 这个条件．教师注意提醒,在借助于树状图或表格求某些事件发生的概率时,必须 保证各种情况出现的可能性是相同的． 第四环节：问渠哪得清如许 为有源头活水来 活动内容：1、本节课你有哪些收获？有何感想？ 2、用列表法求概率时应注意什么情况？ 活动目的：通过对本节课的小结,加深对本节知识的理解,理解掌握树状图和列 表法求理论概率的方法，并熟练应用，同时注意用列表法求概率时应注意各种情 况发生的可能性务必相同。 活动效果及注意事项:注意及时发现学生练习中出现的错误,进行讲评,使学 生能当堂掌握用树状图和列表法求理论概率. 第五环节：学而时习之，不亦乐乎 1． （必做题）随堂练习. 2． （选做题）请同学们课后完成下面练习: （提升）小明和小颖做掷骰子的游戏，规则如下：① 游戏前，每人选一个数字： ② 每次同时掷两枚均匀骰子；③ 如果同时掷得的两枚骰子点数之和，与谁所 选数字相同，那么谁就获胜． （1）在下表中列出同时掷两枚均匀骰子所有可能出现的结果： 1 2 3 4 5 6 第 2 枚骰子 掷 得 的 点 数 第 1 枚骰子 掷 得 的 点 数8 1 2 3 4 5 6 （2）小明选的数字是 5，小颖选的数字是 6．如果你也加入游戏，你会选什么数 字，使自己获胜的概率比他们大？请说明理由． （探究）一个袋中有 2 个红球，2 个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸 出 2 个球，2 个球都是红球的可能性是（　　） A、 B、 C、 D、 【解析】：一次摸两个球，相当于无放回的连续摸两次 ∴P（2 个球都是红球）= = ．故选 C。 四、教学反思 注意：在教学时要反复强调：在借助于树状图或表格求事件发生的概率时,应 注意到各种情况出现的等可能性．以免学生忽略这个条件错误使用树状图或表格 求事件发生的概率. 3 1 2 1 6 1 4 1