布丰的投针试验.doc

布丰的投针试验 公元 1777 年的一天，法国科学家布丰（D．Buffon1707-1788）的家里宾客 满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。 试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画 好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针 的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根 一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉 我。” 客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。 一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着， 如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里 记录了诸位刚才的投针结果，共投针 2212 次，其中与平行线相交的有 704 次。 总数 2212 与相交数 704 的比值为 3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停， 并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的 近似值！” 众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙。“圆周率π？这可是与圆半 点也不沾边的呀！” 布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是 概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的 近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”说着布 丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。 π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万 确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它 为布丰问题。布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为 d，小针长为 ，投针的次数为 n，所投的针当中与平行线相交的次数是 m，那么当 n 相当大时 有： l在上面故事中，针长 等于平行线距离 d 的一半，所以代入上面公式简化 我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一 个简单而巧妙的证明。 找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离 d。可以想象， 对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆 圈扔下的次数为 n 次，那么相交的交点总数必为 2n。 现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd 的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时 与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有 4 个交点、3 个交点、2 个交点、1 个交点，甚至于都不相交。 由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较 多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说，当长为π d 的铁丝扔下 n 次时，与平行线相交的交点总数应大致为 2n。 现在再来讨论铁丝长为 的情形。当投掷次数 n 增大的时候，这种铁丝跟平 行线相交的交点总数 m 应当与长度 成正比，因而有： m＝k 式中 k 是比例系数。 l l l l为了求出 k 来，只需注意到，对于 ＝πd 的特殊情形，有 m＝2n。于 这便是著名的布丰公式。 亲爱的读者，你不妨一试。 l