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从课本的一道例题谈起 青岛市崂山区第三中学 王昌涛 1.写在前面 亲爱的同学们，在学习本节课时相信大家对例题的印象是非常深刻的，原因在哪里呢？ 让我们再来回顾本节课的例题. 例 1如图 1，四边形 ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10cm.求：(1)对角 线 AC 的长度；(2)菱形 ABCD 的面积. 解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD,即∠AED=90°， DE= BD×10=5（cm） ∴在 Rt△ADE 中，由勾股定理可得： ∴AC=2AE=2×12=24(cm). （2）S 菱形 ABCD= S△ABD+ S△CBD =2×S△ABD=2× ×BD×AE = BD×AE=10×12=120(cm2). 2.一类四边形面积求解的方法 相信同学们完成例题后都会对菱形面积的处理感觉非常妙，对于这种解题的技巧你是一 笑而过，还是让你陷入了沉思呢？今天就让我们一起深入探讨一类图形的面积求解问题。 通过本节课的学习我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形的面 积等于对角线乘积的一半.即如图 1 所示：S 菱形 ABCD= AC×BD. 仔细分析上述的证明过程我们会发现，我们日常生活中常见的风筝的形状即“筝形”也 是可以用这种方法求解的. 例 2 如图 2，四边形 ABCD 是我们常见的风筝的图案，其中对角线 BD 长为 20cm，AC 长为 40cm，AC 垂直平分 BD，垂足为 E，求筝形 ABCD 的面积. 解析：由已知：S 四边形 ABCD= S△ABD+ S△CBD = ×BD×AE+ ×BD×CE 1 2 2 2 2 213 5 12( ).AE AD DE cm= − = − = 1 2 1 2 1 2 1 2 E D C B A 图 1 C A E DB 图 2= ×BD×(AE+CE)= ×BD×AC. 我们发现这个结论对于筝形依然成立. 那么到底满足什么条件的图形可以通过这种方法求面积呢？仔细观察不难发现，只要四 边形的对角线互相垂直我们就可以利用这一结论求解. 例 3 如图 3，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相垂直，其中对角线 BD 长为 20cm，AC 长 为 15cm，垂足为 E，求四边形 ABCD 的面积. 解析：通过上述求解过程，同学们应该能求出结果为 150cm². 研究到这里，我们可以得出一个结论： 结论 1：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. 3.普通四边形面积求解的拓展 通过结论 1 的研究对于普通的对角线不垂直的四边形的面积的求解能不能有什么启示 呢？下面让我们一起来研究. 如图 4 所示四边形 ABCD 的对角线 BD 长为 20cm，根据前面三个例题的求解方式只要我们 知道 AE 与 CF 的长度即可求出四边形的面积，仿照上面写出如下算式：S 四边形 ABCD= S△ABD+ S△ CBD= ×BD×AE+ ×BD×CF= ×BD×(AE+CF). 通过这个算式我们发现我们刚开始猜想的知道 AE 与 CF 的长度即可求出四边形的面积， 这一条件可以简化为知道 AE+CF 即可求出四边形的面积。 于是我们就得出了第二条结论： 结论 2：任意四边形的面积等于一条对角线与其余两顶点到这条对角线距 离和的乘积的一半. 以上的研究就是从课本的一道例题想到的，同学们对于数学知识的学习，我们不能仅仅 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 DB E A C 图 3 F E DB A C 图 4满足于一个个的题目会解，更要学会反思研究，思考每一个结论，每一个题目背后的本质.下 面就让我们进入小试牛刀环节，来体验研究的成果吧. 4.若有所思之后的小试牛刀： (1)如图 5，矩形 ABCD 中，AD=6cm，AB=4cm，EF∥AD,点 G、H 分别是 AD、BC 上任一点， 则四边形 EGFH 的面积等于 cm². (2)如图 6，四边形 ABCD 放在了一组平行线中，已知 BD=6cm，四边形 ABCD 的面积为 24cm，则两条平行线间的距离为 cm. 答案:(1) 12； (2) 2. F A CB D E G H 图 5 B A D C 图 6