对角线互相垂直的四边形的面积.doc

对角线互相垂直的四边形的面积 如果仅知道菱形两条对角线的长，你能求出菱形的面积吗？ 画画图，想想菱形的对角线有什么性质呢？ 不难发现，菱形对角线将菱形分成了四个直角三角形， 这四个直角三角形还是全等的呢！（你能证明吗？） 于是菱形面积就等于四个三角形面积之和， 即 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝4 ＝4（ ） ＝4（ ）＝ . 原来菱形的面积还可以由对角线求出呢！ 回顾一下解决问题过程吧。我们解决问题的切入点是利用菱形对角线互相垂 直平分的特点，那么如果我们弱化条件，例如将条件改为“对角线相互垂直”或 者“对角线相互平分”，此时的四边形的面积还能利用对角线乘积的一半表示吗？ 先看看“对角线相互垂直”的情况吧。 这时和菱形情况类似，四边形也被对角线分成了 四个直角三角形，那么 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ AO×OD＋ AO×BO＋ OC×OD＋ BO×OC＝ AO×(OD＋OB)＋ OC(OD＋OB)＝ (AO+OC)×BD＝ AC×BD. 于是我们得出的结论是：对角线互相垂直的任意四边形的面积等于对角线乘 积的一半。 “对角线相互平分”的情况又如何呢？此时的四边形是什么四边形？还有 “面积等于对角线乘积的一半”的结论吗？这个小问题就留给你思考吧。 ABCD菱形S ADO△S ABO△S CDO△S BCO△S ADO△S DOAO ⋅⋅ 2 1 BDAC 2 1 2 1 2 1 ⋅⋅ BDAC2 1 ⋅ ABCD四边形S ADO△S ABO△S CDO△S BCO△S 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 O A D B C