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反比例函数图象与三等分角 历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题. 任取一锐角∠POH，过点 P 作 OH 的平行线，过点 O 作直线，两线 相交于点 M,OM 交 PH 于点 Q，并使 QM=20P，设 N 为 QM 的中点. ∵NP=NM＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3. ∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4. ∴∠MOH＝ ∠POH. 问题在于，如何确定线段 QM 两端点的位置，并且保证 O，Q，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而 求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢? 帕普斯(Pappus，公元 300 前后)给出的一种方法是：如下图，将 给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，角的一边 OA 与 y＝ 的图象交 于点 P，以 P 为圆心、以 2OP 为半径作弧交图象于点 R.分别过点 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线相交于点 M，Q，连接 OM 得到∠ MOB. 3 1 x 1(1)为什么矩形 PQRM 的顶点 Q 在直线 OM 上? (2)你能说明∠MOB＝ ∠AOB 的理由吗? (3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办? 解：(1)设 P、R 两点的坐标分别为 P(a 1， ),R(a2, )，则 Q(a1， )，M(a2, ）. 设直线 OM 的关系式为 y＝kx. ∵当 x＝a2 时，y= ∴ =ka2,∴k= .∴y= x. 当 x=a1 时，y= ∴Q(a1， )在直线 OM 上. (2)∵四边形 PQRM 是矩形. ∴PC= PR=CM.∴∠2＝2∠3. ∵PC=OP，∴∠1＝∠2， ∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4， 3 1 1 1 a 2 1 a 2 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 a 21 1 aa 21 1 aa 2 1 a 2 1 a 2 1 即∠MOB= ∠AOB. (3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角， 该锐角可以用此方法三等分. 3 1