估计方程近似解的基本思想.doc

估计方程近似解的基本思想 青岛七中 江华 “估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛。在本节课中让 学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法。其具体的指 导思想是：将一元二次方程变形为一般形式：ax2+bx+c=0，分别将 x1,x2 代入等 式左边，当获得的值为一正、一负时，方程必定有一根 x0，而且 x1 ＜x0 ＜x2。 这是因为，当 ax12+bx1+c＜0（或＞0）而 ax22+bx2+c＞0（或＜0）时，在 x1 到 x2 之间由小变大时，ax2+bx+c 的值也将由小于 0（或大于 0），逐步变成大于 0（或 小于 0），其间 ax2+bx+c 的值必有为 0 的时候，此时的 x 值就是原方程的根 x0。 时间允许的前提下，建议老师们可以讲述如下例题，以让学生更好地理解估 算的指导思想。 例：不解方程，估计方程 x2-4x-1=0 的根的大小（精确到 0.1）。 解：分别取 x=-0.3 与 x=-0.2 时，有(-0.3)2-4×(-0.3)-1=0.09+1.2-1=0.29 ＞0，(-0.2)2-4×(-0.2)-1=-0.16＜0。于是，方程 x2-4x-1=0 必有一根在－0.3 和-0.2 之间。 分 别 取 x=4.2 与 x=4.3 时 ， 有 4.22-4 × 4.2-1=-0.16 ＜ 0 ， 4.32-4 × 4.3-1=0.29＞0。于是，方程 x2-4x-1=0 必有一根在 4.2 和 4.3 之间。 注：如若不能选准所取的 x 的值，也就无法进行估算，因此，本例中 x 取的 值－0.3、－0.2 以及 4.2、4.3，是在多次进行实验的基础上获得的。在估算根 的范围时，要进一步提高精确度，这里可以分别考虑取 x＝ ＝-0.25 和 取 x= =4.25 时，x2-4x-1 的正负情况，这样根的估计就缩小了范围，不 断重复以上工作，精确度就会逐步提高。 当然，在估计之初，你是不可能得到这么好的数据的，你一般可以随便估计 一个数，如 0，发现 0 的时候，左边小于 0，而 x 正得很多或者负得很多时，对 应的左边的值大于 0，因此可以再选取两个绝对值比较大的数，这样可以估计出 两个根的范围，再逐步逼近。 2 2.03.0 −− 2 3.42.4 +