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配方法的拓展与解析 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过 配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并 且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也 将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。配方法的配方 依据是二项完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，将这个公式灵活运用，可得 到各种基本配方形式，如： a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab； a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab。 配方法在数学的教与学中有着广泛的应用。在初中阶段它主要适用于：一元 二次方程、二次函数、二次代数式的讨论与求解。经过几年的教学实践发现：很 多情况下用配方法解一元二次方程或者求二次函数的顶点坐标要比用公式法简 单实用。 在应用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0）时有两种做法： 一种是先移走常数项，然后方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系 数化为 1，再两边同时加上一次项系数（除以二次项系数后的）一半的平方，把 原方程化成(x＋m) =n(n≥0)的形式，再两边同时开方，把一元二次方程转化为 一元一次方程。 典型例题：2x2+6x-3=0 解法 1：移项得：2x2+6x=3 两边同时除以 2 得： 两边同时加 得: 所以： 开方得： 或 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 332 =+ xx 2)2 3( 4 9 2 3)2 3(3 22 +=++ xx 4 15)2 3( 2 =+x 2 15 2 3 =+x 2 15 2 3 −=+x解得： 另一种方法是先移走常数项，然后通过“凑”与“配”进行配方。 解法 2：移项得：2x2+6x=3 原方程变为： 即原方程化为： 两边同时开方得： 或 解得： 与 用 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 不 同 的 是 ， 在 用 配 方 法 求 二 次 函 数 的顶点坐标时，要把二次项和一次项看作一个整体，提出（而不 是除以）二次项的系数，再进行配方，但配方时与解一元二次方程的配方有所不 同。 典型例题 2：用配方法求 的顶点坐标 解： = = = = 如上例，用配方法求二次函数顶点坐标时，不是等号两边同时加上一次项系 数一半的平方，而是在中括号里加上一次项系数一半的平方，但为了保持原有的 二次函数不变，必须在中括号里再减去一次项系数一半的平方。这是学生在以后 学习用配方法求二次函数顶点坐标时经常与用配方法解一元二次方程相混淆的 2 153,2 153 21 −−=+−= xx 222 )2 23(3)2 23(2 2322)2( +=+••+ xx 4 30)2 232( 2 =+x 2 30 2 232 =+x 2 30 2 232 −=+x 2 153,2 153 21 −−=+−= xx cbxaxy ++= 2 362 2 −+= xxy 362 2 −+= xxy 3)3(2 2 −+ xx 3)2 3()2 3(32 222 −    −++ xx 32 9 2 3(2 2 −−+ ）x 2 15 2 3(2 2 −+ ）x地方，也是学生经常出错的地方。 另外配方法在二次代数式的讨论与求解中应用也非常广泛。 典型例题 3：用配方法证明:无论 x 为何实数，代数式 的值恒大 于零。 与用配方法求二次函数的顶点坐标类似，此题也是把二次项和一次项看作一 个整体，并对其进行配方。解法如下: ∵ = = ＞0 ∴无论 x 为何实数，代数式 的值恒大于零。 典型例题 4：若 ，求 的值。 此题可以运用“裂项”与“凑”的技巧，把-20xy 裂成-18xy 与-2xy 的和， 来完成配方，并根据完全平方式为非负数的性质把二元二次方程化为二元一次方 程组。其解法如下： ∵ ∴ 即 ∴ ， ∴ 典 型 例 题 5 ： （ 2005 卡 西 欧 杯 全 国 初 中 数 学 竞 赛 ） 若 M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y 是实数)，则 M 的值一定是（ ） A 正数 B 负数 C 零 D 整数 精析：先将元多项式转化成几个完全平方式的和的形式，然后就其结构特征 进行合理的分析、推理，可达到目的。 解：因为 M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2≥0 并且 2（x-2y）2,（x-2）2,（y+3）2 这三个式子不能同时为 0，所以 M〉0，故选 A。 5.442 +− xx 5.442 +− xx 5.4)224( 222 +−+− xx 5.05.02 2 ≥+− ）（x 5.442 +− xx 08120 2222 =+++− yxxyyx yx, .08120 2222 =+++− yxxyyx 0)2()8118( 2222 =+−++− yxyxxyyx 0)()9( 22 =−+− yxxy 09 =−xy 0=− yx 3±== yx典型例题 6 化简二次根式 精析：复合二次根式的化简是竞赛中比较常见的问题，化简的关键是将被开 方数化成完全平方的形式，要用到配方的思想。 解： 同理可得 所以，原式=8 典型例题 7 已知三角形的三边 a,b,c 满足 a2+b2+c2=ab+ac+bc,请你判断 这个三角形的形状。 精析：确定三角形的形状，主要是讨论三条边之间的关系。代数式 a2+b2+c2=ab+ac+bc 之中蕴含了完全平方式，我们要重新拆项，组合如下： 2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc 2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0 a2-2ab +b2+ a2-2ac+ c2+b2-2bc+c2=0 (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 所以 a=b=c 三角形是等边三角形 38193819 ++− ( ) 34316316 3316216316219482193819 2 −=−=−= +×−=×−=−=− 343819 +=+