折纸问题中的数学.doc

折纸问题中的数学 通过折纸活动，分析留在纸张上的折痕，我们能够揭示出大量几何的对象 和性质：轴对称、中心对称、全等、相似形、比例及类似于几何分形结构的迭代 (在图案内不断地重复图案 )等几何性质。 折纸过程还能够体现出许多几何概念和规律，诸如正方形、矩形、直角三 角形、梯形等几何形状，对角线、中点、垂直平分线等几何名称，全等、勾股定 理等几何法则，内接、面积及其他一些几何代数的概念，这些鲜活的、可视的过 程，给学生提供了弥补思维过程中的断缺部分，更能符合学生的认知习惯。 折纸可以探索二维和三维图形之间的关系。例如，一张正方形 (二维物体 ) 的纸张可以折成一个立方体 (三维物体 )。然后，将它摊开 ,研究留在正方形纸 上的折痕，正好体现了一个二维物体到三维物体，又回到二维的过程。 在缤纷多彩的折纸活动中，有很多数学活动值得研究。在这里，我们精选 了其中的一些，展示如下： （ 1）从一个矩形式样的纸张 ,折成一个正方形 (如图 2.2-15 所示 )。 （ 2）将一张正方形的纸沿着对角线对折 ,变成四个全等的直角三角形 (如 图 2.2-16 所示 )。 （ 3）找出正方形一条边的中点 (如图 2.2-17 所示 )。（ 5）将一个正方形纸张折叠 ,使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的 梯形 (如图 2.2-19 所示 ) 。 （6）把一个正方形折成两半，那么，折痕将成为正方形两条相对边的垂直 平分线 (如图 2.2-20 所示 ) 。 （ 7）折出四面体 (按图 2.2-21 所示的方法 ) 。 （ 8）折出正方体 (按图 2.2-22 所示的方法 ) 。 不仅如此，折纸还可以做出其他的一些重要内容，诸如黄金比等。 （ 9）折出黄金分割比 图 2.2-24 所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出 60°角的方法： 将 一张矩形的纸沿两条较短的边（即宽）对折，折出这张矩形纸的平行于较长边的 中线，再将这张纸铺平；用手捏住矩形的一个角，将同一条宽上的另一个顶点折 向中线，使其刚好落在中线上，压平。 此时，左上角的 90°角就分成了三个 30°角。 利用图 2.2-24 中的 60°角，借助于顶角为 60°的等腰三角形是正三角形， 通过连续折叠四个正三角形，还可以做出正四面体。 其实，我们还可以像图 2.2-25 这样以正方形的角或中心为顶点，折出 60° 或 30°角。即，在正方形纸片 ABFE 中，先将对边 AE、 BF 重合，折出折痕 DG；如图 2.2-25 所示，过顶点 A，将边 AB 向上对折，使得 B 点刚好落在折痕 DG 上，记为 O 点。此时，∠ BAO、∠ EAO 依次是 60°角、 30°角。 （ 11）将长方形纸片折成三等份大多数人将长方形纸片折成三等份的惯用 方法是： 先从纸片的一边开始，估计地叠起纸片的三分之一；然后，将对边也折起 来，根据三份是否重合来进行调整。 当然，这种折法蕴涵着朴素的极限思想；反复折叠中，一次比一次地更趋 近三等份。 另外一种完全不同的折法是： 如图 2.2-26 所示，先将整张纸片 ABCD 的一条边 BC 对折（使点 B、 C 重 合），找到其中点 E 点；再折出整张纸片的对角线 AC，以及 E 点与 D 点的连线 ED，两条折痕相交于点 X；最后，过交点 X 折叠纸片，使 DG 重叠在 AG 上、 CE 重叠在 BE 上。此时，则 DG 即为 AG 的三分之一。 利用边 BC 与 AD 平行以及 E 点是中点可知⊿ CXE∽⊿ AXD，进而， AG： GD=AG： PC=AX： CX=AD： CE=CB： CE=2。显然，相似三角形的性质是这种折法 的核心。