第五章 5.4 平面向量的应用 2021届高三数学一轮基础复习讲义（教师版）

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB → ∥AC → ，则 A，B，C 三点共线．(　√　) (2)向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量．(　×　) (3)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角．(　×　) (4)在△ABC 中，若AB → ·BC → a，所以 4c2－5a2＝0,4(a2＋b2)－5a2＝0，则 a＝2b，则双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±b ax＝±1 2x， 故选 B. 题型四 函数与方程思想在向量中的应用 例 6 (1)设 e1，e2 为单位向量，非零向量 b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若 e1，e2 的夹角为π 6，则|x| |b|的最大值等 于______． (2)在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点．若AB → ＝λAM → ＋μAN → ， 则 λ＋μ＝________. 解析　(1)因为 b≠0，所以 b＝xe1＋ye2，x≠0 或 y≠0. 当 x＝0，y≠0 时，|x| |b|＝0； 当 x≠0 时，|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋ 3xy， |x|2 |b|2＝ x2 x2＋y2＋ 3xy ＝ 1 y2 x2＋ 3·y x＋1 ， 不妨设y x＝t，则|x|2 |b|2＝ 1 t2＋ 3t＋1 ， 当 t＝－ 3 2 时，t2＋ 3t＋1 取得最小值1 4， 此时|x|2 |b|2取得最大值 4， 所以|x| |b|的最大值为 2. 综上，|x| |b|的最大值为 2. (2)由AB → ＝λAM → ＋μAN → ，得AB → ＝λ·1 2(AD → ＋AC → )＋μ·1 2(AC → ＋AB → )，得(μ 2－1)AB → ＋λ 2AD → ＋(λ 2＋μ 2)AC → ＝0，得(μ 2 －1)AB → ＋λ 2AD → ＋(λ 2＋μ 2)(AD → ＋1 2AB → )＝0，得(1 4λ＋3 4μ－1)AB → ＋(λ＋μ 2)AD → ＝0. 又因为AB → ，AD → 不共线， 所以由平面向量基本定理得Error!解得Error!所以 λ＋μ＝4 5. 答案　(1)2　(2)4 5 第 3 课时 阶段重难点梳理 1．向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共 线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中 a＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0， 其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a，b 为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝ a·b |a||b|(θ 为向量 a，b 的夹角)，其中 a，b 为非 零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝ a2＝ x2＋y2，其中 a＝(x，y)，a 为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题 ― ― →设向量 向量问题 ― ― →运算 解决向量问题 ― ― →还原 解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用 向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹 角)． 3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向 量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】 1．若 G 是△ABC 的重心，则GA → ＋GB → ＋GC → ＝0. 2．若直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(－B，A)与直线 l 平行． 题型五　平面向量与三角函数 命题点 1　向量与三角恒等变换的结合 例 1　已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0