1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝x＋1
x的最小值是 2.( × )
(2)函数 f(x)＝cos x＋ 4
cos x，x∈(0，π
2)的最小值等于 4.( × )
(3)“x>0 且 y>0”是“x
y＋y
x≥2”的充要条件．( × )
(4)若 a>0，则 a3＋ 1
a2的最小值为 2 a.( × )
(5)不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋b
2 ≥ ab有相同的成立条件．( × )
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )
2、设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C
解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y
2 ≥ xy，
即 xy≤(x＋y
2 )2＝81，
当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81.
第 1 课时
进门测
3、已知 x>0，a>0，当 y＝x＋a
x取最小值时，x 的值为( )
A．1 B．a C. a D．2 a
答案 C
解析 y＝x＋a
x≥2 a，
当且仅当 x＝a
x即 x＝ a时，
y＝x＋a
x有最小值 2 a.
4、若 a>0，b>0，且 a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A. 1
ab≤1
4 B.1
a＋1
b≤1
C. ab≥2 D．a2＋b2≥8
答案 D
解析 4＝a＋b≥2 ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)，即 ab≤2，ab≤4，1
ab≥1
4，选项 A，C 不成立；
1
a＋1
b＝a＋b
ab ＝ 4
ab≥1，选项 B 不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项 D 成立．
5、若正数 x，y 满足 x2＋4y2＋x＋2y＝1，则 xy 的最大值为________．
答案 2－ 3
4
解析 由题意得
1＝x2＋4y2＋x＋2y≥4xy＋2 2· xy，
则 xy≤ 6－ 2
4 ，则 xy≤(
6－ 2
4 )2＝2－ 3
4 .
无
题型一 利用基本不等式求最值
命题点 1 通过配凑法利用基本不等式
例 1 (1)已知 00，a＋b＝1，则1
a＋1
b的最小值为________．
答案 4
解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1
a＋1
b＝a＋b
a ＋a＋b
b ＝2＋b
a＋a
b
≥2＋2 b
a·a
b＝4，即1
a＋1
b的最小值为 4，当且仅当 a＝b＝1
2时等号成立．
引申探究
1．若条件不变，求(1＋1
a)(1＋1
b)的最小值．
解 (1＋1
a)(1＋1
b)＝(1＋a＋b
a )(1＋a＋b
b )＝(2＋b
a)·(2＋a
b)
＝5＋2(b
a＋a
b)≥5＋4＝9.
当且仅当 a＝b＝1
2时，取等号．
2．已知 a>0，b>0，1
a＋1
b＝4，求 a＋b 的最小值．
解 由1
a＋1
b＝4，得 1
4a＋ 1
4b＝1.
∴a＋b＝( 1
4a＋ 1
4b)(a＋b)＝1
2＋ b
4a＋ a
4b≥1
2＋2 b
4a· a
4b＝1.
当且仅当 a＝b＝1
2时取等号．
3．若将条件改为 a＋2b＝3，求1
a＋1
b的最小值．
解 ∵a＋2b＝3，
∴1
3a＋2
3b＝1，
∴1
a＋1
b＝(1
a＋1
b)(1
3a＋2
3b)＝1
3＋2
3＋ a
3b＋2b
3a
≥1＋2 a
3b·2b
3a＝1＋2 2
3 .
当且仅当 a＝ 2b 时，取等号．
【同步练习】
(1)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是________．
(2)已知 x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(1
2)y，若1
x＋m
y(m>0)的最小值为 3，则 m＝________.
答案 (1)5 (2)4
解析 (1)方法一 由 x＋3y＝5xy，可得 1
5y＋ 3
5x＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)( 1
5y＋ 3
5x)
＝9
5＋4
5＋3x
5y＋12y
5x ≥13
5 ＋12
5 ＝5.
当且仅当3x
5y＝12y
5x ，即 x＝1，y＝1
2时，等号成立，
∴3x＋4y 的最小值是 5.
方法二 由 x＋3y＝5xy，得 x＝ 3y
5y－1，
∵x>0，y>0，∴y>1
5，
∴3x＋4y＝ 9y
5y－1＋4y＝
13(y－1
5
)＋9
5＋4
5－4y
5y－1 ＋4y
＝13
5 ＋9
5·
1
5
y－1
5
＋4(y－1
5)
≥13
5 ＋2 36
25＝5，
当且仅当 y＝1
2时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.
(2)由 2x－3＝(1
2)y 得 x＋y＝3，
1
x＋m
y＝1
3(x＋y)(1
x＋m
y)
＝1
3(1＋m＋y
x＋mx
y )
≥1
3(1＋m＋2 m)
(当且仅当y
x＝mx
y ，即 y＝ mx 时取等号)，
∴1
3(1＋m＋2 m)＝3，
解得 m＝4.
题型二 基本不等式的实际应用
例 3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：
万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大
值是________万元．
答案 8
解析 年平均利润为y
x＝－x－25
x ＋18
＝－(x＋25
x )＋18，
∵x＋25
x ≥2 x·25
x ＝10，
∴y
x＝18－(x＋25
x )≤18－10＝8，
当且仅当 x＝25
x 即 x＝5 时，取等号．
【同步练习】
1、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元．若每批生产 x 件，则平均仓储时间为
x
8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，
每批应生产产品________件．
答案 80
解析 设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得
y＝800
x ＋x
8≥2 800
x ·x
8＝20.
当且仅当800
x ＝x
8(x>0)，即 x＝80 时“＝”成立．
1．基本不等式 ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)b
a＋a
b≥2(a，b 同号)．
(3)ab≤(a＋b
2 )2 (a，b∈R)．
(4)a2＋b2
2 ≥(a＋b
2 )2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋b
2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算
术平均数不小于它们的几何平均数．
第 3 课时
阶段重难点梳理
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p.(简记：积定和最小)
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值p2
4 .(简记：和定积最大)
【知识拓展】
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1) 恒 成 立 问 题 ： 若 f(x) 在 区 间 D 上 存 在 最 小 值 ， 则 不 等 式 f(x)>A 在 区 间 D 上 恒 成 立 ⇔
f(x)min>A(x∈D)；
若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)A(x∈D)；
若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 的解集为 D；
不等式 f(x)0，若不等式3
a＋1
b≥ m
a＋3b恒成立，则 m 的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11
x＋1 (a∈R)，若对于任意的x∈N *，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
答案 (1)B (2)[－8
3，＋∞)
解析 (1)由3
a＋1
b≥ m
a＋3b，
得 m≤(a＋3b)(3
a＋1
b)＝9b
a ＋a
b＋6.
又9b
a ＋a
b＋6≥2 9＋6＝12(当且仅当9b
a ＝a
b时等号成立)，
∴m≤12，∴m 的最大值为 12.
(2)对任意 x∈N*，f(x)≥3 恒成立，即x2＋ax＋11
x＋1 ≥3 恒成立，即知 a≥－(x＋8
x)＋3.
设 g(x)＝x＋8
x，x∈N*，则 g(2)＝6，g(3)＝17
3 .
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝17
3 ，∴－(x＋8
x)＋3≤－8
3，
∴a≥－8
3，故 a 的取值范围是[－8
3，＋∞)．
【同步练习】
(1)已知函数 f(x)＝x＋a
x＋2 的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则 a 的值是( )
A.1
2 B.3
2 C．1 D．2
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项 am，an 使得 aman＝4a1，则1
m＋4
n
的最小值为( )
A.3
2 B.5
3 C.9
4 D.25
6
答案 (1)C (2)A
解析 (1)由题意可得 a>0，
①当 x>0 时，f(x)＝x＋a
x＋2≥2 a＋2，当且仅当 x＝ a时取等号；
②当 x0，y>0，且1
x＋2
y＝1，则 x＋y 的最小值是________．
(2)函数 y＝1－2x－3
x(x0，y>0，∴1＝1
x＋2
y≥2 2
xy，
∴ xy≥2 2，∴x＋y≥2 xy＝4 2，
∴x＋y 的最小值为 4 2.
(2)∵2x＋3
x≥2 6，∴y＝1－2x－3
x≤1－2 6.
∴函数 y＝1－2x－3
x(x0，y>0，
∴x＋y＝(x＋y)(1
x＋2
y)
＝3＋y
x＋2x
y ≥3＋2 2(当且仅当 y＝ 2x 时取等号)，
∴当 x＝ 2＋1，y＝2＋ 2时，(x＋y)min＝3＋2 2.
(2)∵x0，
所以“a2＋b2≥2ab”是“a
b＋b
a≥2”的必要不充分条件，故选 B.
3．已知 x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则1
x＋ 1
3y的最小值是( )
A．2 B．2 2 C．4 D．2 3
作业布置
答案 C
解析 因为 lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以 x＋3y＝1，
所以1
x＋ 1
3y＝(1
x＋ 1
3y)(x＋3y)＝2＋3y
x ＋ x
3y≥4，
当且仅当3y
x ＝ x
3y，即 x＝1
2，y＝1
6时，取等号．
4．若函数 f(x)＝x＋ 1
x－2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于( )
A．1＋ 2 B．1＋ 3
C．3 D．4
答案 C
解析 当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋ 1
x－2＋2≥2 (x－2) × 1
x－2＋2＝4，当且仅当 x－2＝ 1
x－2
(x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3，即 a＝3，故选 C.
5．已知 x>0，y>0，且 4xy－x－2y＝4，则 xy 的最小值为( )
A.
2
2 B．2 2 C. 2 D．2
答案 D
解析 ∵x>0，y>0，x＋2y≥2 2xy，
∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2 2xy，
∴4≤4xy－2 2xy，
即( 2xy－2)( 2xy＋1)≥0，
∴ 2xy≥2，∴xy≥2.
*6.设 a>b>c>0，则 2a2＋ 1
ab＋ 1
a(a－b)－10ac＋25c2 的最小值是( )
A．2 B．4 C．2 5 D．5
答案 B
解析 2a2＋ 1
ab＋ 1
a(a－b)－10ac＋25c2
＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋ 1
ab＋ 1
a(a－b)
＝(a－5c)2＋ab＋ 1
ab＋a(a－b)＋ 1
a(a－b)
≥0＋2＋2＝4，
当且仅当 a－5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1 时，等号成立，
即取 a＝ 2，b＝ 2
2 ，c＝ 2
5 时满足条件．
*7.若正数 a，b 满足1
a＋1
b＝1，则 1
a－1＋ 9
b－1的最小值是( )
A．1 B．6 C．9 D．16
答案 B
解析 ∵正数 a，b 满足1
a＋1
b＝1，∴b＝ a
a－1>0，解得 a>1.同理可得 b>1，所以 1
a－1＋ 9
b－1＝ 1
a－1＋
9
a
a－1－1
＝ 1
a－1＋9(a－1)≥2 1
a－1·9(a－1)＝6，当且仅当 1
a－1＝9(a－1)，即 a＝4
3时等号成立，所以
最小值为 6.故选 B.
8．对任意的 θ∈(0，π
2)，不等式 1
sin2θ＋ 4
cos2θ≥|2x－1|成立，则实数 x 的取值范围是( )
A．[－3,4] B．[0,2]
C．[－3
2，5
2] D．[－4,5]
答案 D
解析 因为 1
sin2θ＋ 4
cos2θ
＝sin2θ＋cos2θ
sin2θ ＋4(sin2θ＋cos2θ)
cos2θ
＝cos2θ
sin2θ＋4sin2θ
cos2θ ＋5≥2× cos2θ
sin2θ·4sin2θ
cos2θ ＋5＝9，
当且仅当cos2θ
sin2θ＝4sin2θ
cos2θ ，即 tan θ＝ 2
2 时等号成立，所以|2x－1|≤9，解得－4≤x≤5，故选 D.
9．已知 x，y∈R 且满足 x2＋2xy＋4y2＝6，则 z＝x2＋4y2 的取值范围为________．
答案 [4,12]
解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而 2xy≤x2＋4y2
2 ，
∴6－(x2＋4y2)≤x2＋4y2
2 ，
∴x2＋4y2≥4(当且仅当 x＝2y 时取等号)．
又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，
即 2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12
(当且仅当 x＝－2y 时取等号)．
综上可知 4≤x2＋4y2≤12.
10．已知 a，b 为正实数，直线 x＋y＋a＝0 与圆(x－b) 2＋(y－1) 2＝2 相切，则 a2
b＋1的取值范围是
________．
答案 (0，＋∞)
解析 ∵x＋y＋a＝0 与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2 相切，
∴d＝|b＋1＋a|
2
＝ 2，
∴a＋b＋1＝2，即 a＋b＝1，
∴ a2
b＋1＝
(1－b)2
b＋1 ＝
(b＋1)2－4(b＋1)＋4
b＋1
＝(b＋1)＋ 4
b＋1－4≥2 4－4＝0.
又∵a，b 为正实数，∴等号取不到．
∴ a2
b＋1的取值范围是(0，＋∞)．
*11.函数 y＝loga(x＋3)－1(a>0，且 a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ny＋1＝0 上，其中
m，n 均大于 0，则1
m＋2
n的最小值为________．
答案 8
解析 y＝loga(x＋3)－1 的图象恒过定点 A(－2，－1)，
由 A 在直线 mx＋ny＋1＝0 上．
得－2m－n＋1＝0 即 2m＋n＝1.
∴1
m＋2
n＝2m＋n
m ＋2(2m＋n)
n ＝ n
m＋4m
n ＋4≥2 4＋4＝8(当且仅当 n
m＝4m
n ，即 m＝1
4，n＝ 1
2时等号成
立)．
12．若正数 x，y，z 满足 3x＋4y＋5z＝6，则 1
2y＋z＋4y＋2z
x＋z 的最小值为________．
答案 7
3
解析 1
2y＋z＋4y＋2z
x＋z ＝ 1
2y＋z＋6－3(x＋z)
x＋z
＝ 1
2y＋z＋ 6
x＋z－3，
令 2y＋z＝a，x＋z＝b，
则 2(2y＋z)＋3(x＋z)＝3x＋4y＋5z＝2a＋3b＝6，
即a
3＋b
2＝1，
原式＝(1
a＋6
b)(a
3＋b
2)－3
＝1
3＋ b
2a＋2a
b ≥7
3.
13．某项研究表明：在考虑行车安全情况下，某路段车流量 F(单位时间经过测量点的车辆数，单位：
辆/小时)与车辆速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)，平均车长 l(单位：米)的值有关，
其公式 F＝ 76 000v
v2＋18v＋20l.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时．
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
答案 (1)1 900 (2)100
解析 (1)当 l＝6.05 时，F＝ 76 000
v＋121
v
＋18
≤ 76 000
2 v·121
v
＋18
＝1 900，
当且仅当 v＝11 时取最大值．
(2)当 l＝5 时，F＝ 76 000
v＋100
v
＋18
≤2 000，
当且仅当 v＝10 时取等号，
∴最大车流量比(1)中增加 2 000－1 900＝100(辆/小时)．
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