2021届高三数学一轮基础复习讲义 第六章 6.5数学归纳法-教师版

1 1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立．(　×　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　×　) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一 项．(　×　) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证 n＝1 时，左边式子应为 1＋2＋22 ＋23.(　√　) (6)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时，n0＝3.(　√　) 2、用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋2 1－a (a≠1，n∈N*)，在验证 n＝1 时，等式左边的 项是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　C 第 1 课时 进门测 2 解析　当 n＝1 时，n＋1＝2， ∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2. 3、已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－1 2＋1 3－1 4＋…－1 n＝2( 1 n＋2＋ 1 n＋4＋…＋ 1 2n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　) A．n＝k＋1 时等式成立 B．n＝k＋2 时等式成立 C．n＝2k＋2 时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案　B 解析　因为 n 为正偶数，n＝k 时等式成立， 即 n 为第 k 个偶数时命题成立， 所以需假设 n 为下一个偶数，即 n＝k＋2 时等式成立． 4、在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2n(n－3)条时，第一步检验 n 等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　凸 n 边形边数最小时是三角形， 故第一步检验 n＝3. 5、已知{a n}满足 an＋1 ＝a2n－nan＋1，n∈N *，且 a1＝2，则 a 2＝________，a 3＝________，a 4＝ ________，猜想 an＝________. 3 答案　3　4　5　n＋1 无 题型一　用数学归纳法证明等式 例 1　设 f(n)＝1＋1 2＋1 3＋…＋1 n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 证明　①当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2(1＋1 2－1)＝1， 左边＝右边，等式成立． ②假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 作业检查 阶段训练 第 2 课时 4 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)[f(k＋1)－ 1 k＋1]－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论成立． 由①②可知当 n∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 【同步练习】 1、用数学归纳法证明： 12 1 × 3＋ 22 3 × 5＋…＋ n2 (2n－1)(2n＋1)＝ n(n＋1) 2(2n＋1)(n∈N*)． 证明　①当 n＝1 时，左边＝ 12 1 × 3＝1 3， 右边＝ 1 × (1＋1) 2 × (2 × 1＋1)＝1 3， 左边＝右边，等式成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立． 即 12 1 × 3＋ 22 3 × 5＋…＋ k2 (2k－1)(2k＋1)＝ k(k＋1) 2(2k＋1)， 当 n＝k＋1 时， 左边＝ 12 1 × 3＋ 22 3 × 5＋…＋ k2 (2k－1)(2k＋1)＋ (k＋1)2 (2k＋1)(2k＋3) 5 ＝ k(k＋1) 2(2k＋1)＋ (k＋1)2 (2k＋1)(2k＋3) ＝k(k＋1)(2k＋3)＋2(k＋1)2 2(2k＋1)(2k＋3) ＝ (k＋1)(2k2＋5k＋2) 2(2k＋1)(2k＋3) ＝ (k＋1)(k＋2) 2(2k＋3) ， 右边＝ (k＋1)(k＋1＋1) 2[2(k＋1)＋1] ＝ (k＋1)(k＋2) 2(2k＋3) ， 左边＝右边，等式成立． 即对所有 n∈N*，原式都成立． 题型二　用数学归纳法证明不等式 例 2　等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 n∈N*，点(n，S n)均在函数 y＝b x＋r(b>0 且 b≠1，b，r 均为常数)的图象上． (1)求 r 的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的 n∈N*，不等式b1＋1 b1 ·b2＋1 b2 ·…· bn ＋1 bn > n＋1 成立． (1)解　由题意，Sn＝bn＋r， 当 n≥2 时，Sn－1＝bn－1＋r. 所以 an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)． 由于 b>0 且 b≠1， 所以 n≥2 时，{an}是以 b 为公比的等比数列． 6 又 a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， 所以a2 a1＝b，即b(b－1) b＋r ＝b，解得 r＝－1. (2)证明　由(1)及 b＝2 知 an＝2n－1. 因此 bn＝2n(n∈N*)， 所证不等式为2＋1 2 ·4＋1 4 ·…· 2n＋1 2n > n＋1. ①当 n＝1 时，左式＝3 2，右式＝ 2， 左式>右式，所以结论成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立， 即2＋1 2 ·4＋1 4 ·…· 2k＋1 2k > k＋1， 则当 n＝k＋1 时， 2＋1 2 ·4＋1 4 ·…· 2k＋1 2k · 2k＋3 2(k＋1)> k＋1· 2k＋3 2(k＋1)＝ 2k＋3 2 k＋1 ， 要证当 n＝k＋1 时结论成立， 只需证 2k＋3 2 k＋1 ≥ k＋2， 即证2k＋3 2 ≥ (k＋1)(k＋2)， 由基本不等式得2k＋3 2 ＝ (k＋1)＋(k＋2) 2 ≥ (k＋1)(k＋2)成立， 故 2k＋3 2 k＋1 ≥ k＋2成立， 所以当 n＝k＋1 时，结论成立． 由①②可知，当 n∈N*时，不等式b1＋1 b1 ·b2＋1 b2 ·…· bn＋1 bn > n＋1成立． 7 【同步练习】 1、若函数 f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1 是过点 P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线 PQn 与 x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xn