2021届高三数学一轮基础复习讲义第五章 5.2平面向量基本定理及坐标表示-教师版

1 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　) (2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表 示．(　√　) (4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成x1 x2＝y1 y2.(　×　) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　√　) 无 第 1 课时 进门测 作业检查 阶段训练 第 2 课时 2 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　(1)在平行四边形ABCD中， AB → ＝e1，AC → ＝e2，NC → ＝1 4AC → ，BM → ＝1 2MC → ，则MN → ＝________.(用e 1， e2 表示) (2) 如图，在△ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，BG → ＝2GO → ，设CD → ∥AG → ，若AD → ＝1 5AB → ＋λAC → (λ∈R)， 则 λ 的值为(　　) A.1 5 B.1 2 C.6 5 D．2 答案　(1)－2 3e1＋ 5 12e2　(2)C 解析　(1)如图，MN → ＝CN → －CM → ＝CN → ＋2BM → ＝CN → ＋2 3BC → ＝－1 4AC → ＋2 3(AC → －AB → ) ＝－1 4e2＋2 3(e2－e1) ＝－2 3e1＋ 5 12e2. 3 (2)因为BG → ＝2GO → ，所以AG → ＝1 3AB → ＋2 3AO → ＝1 3AB → ＋1 3AC → .又CD → ∥AG → ，可设CD → ＝mAG → ，所以AD → ＝AC → ＋CD → ＝AC → ＋m 3AB → ＋m 3AC → ＝(1＋m 3)AC → ＋m 3AB → .因为AD → ＝1 5AB → ＋λAC → ，所以m 3＝1 5，λ＝1＋m 3＝6 5. 思维升华　平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或 数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量 的形式，再通过向量的运算来解决． 　在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点，若AB → ＝λAM → ＋ μAN → ，则 λ＋μ 等于(　　) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 答案　D 解析　因为AB → ＝AN → ＋NB → ＝AN → ＋CN → ＝AN → ＋(CA → ＋AN → )＝2AN → ＋CM → ＋MA → ＝2AN → －1 4AB → －AM → ， 所以AB → ＝8 5AN → －4 5AM → ，所以 λ＋μ＝4 5. 题型二　平面向量的坐标运算 例 2　(1)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若 a－2b＋3c＝0，则 c 等于(　　) A.(1，8 3 ) B.(－13 3 ，8 3) C.(13 3 ，4 3) D.(－13 3 ，－4 3) (2)已知向量 a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且 a∥b，则 2a－b 等于(　　) 4 A．(4,0) B．(0,4) C．(4，－8) D．(－4,8) 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)由已知 3c＝－a＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 所以 c＝(－13 3 ，－4 3). (2)因为向量 a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且 a∥b， 所以 1×4＋2m＝0，即 m＝－2， 所以 2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)． 思维升华　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的 坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 　(1)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则 λ μ＝ ________. (2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC → ＝2AD → ，则顶点 D 的坐标为 (　　) A．(2，7 2) B．(2，－1 2) C．(3,2) D．(1,3) 答案　(1)4　(2)A 解析　(1)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)， 5 则 A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)， ∴a＝AO → ＝(－1,1)，b＝OB → ＝(6,2)，c＝BC → ＝(－1，－3)． ∵c＝λa＋μb， ∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即Error! 解得 λ＝－2，μ＝－1 2，∴λ μ＝4. (2)设 D(x，y)，AD → ＝(x，y－2)，BC → ＝(4,3)， 又BC → ＝2AD → ，∴Error!∴Error!故选 A. 题型三　平面向量坐标的应用 命题点 1　利用向量共线求向量或点的坐标 例 3　已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为________． 答案　(3,3) 解析　方法一　由 O，P，B 三点共线，可设OP → ＝λOB → ＝(4λ，4λ)，则AP → ＝OP → －OA → ＝(4λ－4,4λ)． 又AC → ＝OC → －OA → ＝(－2,6)， 由AP → 与AC → 共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得 λ＝3 4， 6 所以OP → ＝3 4OB → ＝(3,3)， 所以点 P 的坐标为(3,3)． 方法二　设点 P(x，y)，则OP → ＝(x，y)，因为OB → ＝(4,4)，且OP → 与OB → 共线，所以x 4＝y 4，即 x＝y. 又AP → ＝(x－4，y)，AC → ＝(－2,6)，且AP → 与AC → 共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得 x＝y＝3， 所以点 P 的坐标为(3,3)． 命题点 2　利用向量共线求参数 例 4　(1)已知向量 a＝(1－sin θ，1)，b＝(1 2，1＋sin θ)，若 a∥b，则锐角 θ＝________. (2)设OA → ＝(－2,4)，OB → ＝(－a,2)，OC → ＝(b,0)，a>0，b>0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则 1 a＋1 b的最小值为________． 答案　(1)45°　(2)3＋2 2 2 解析　(1)由 a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝1 2， 所以 cos2θ＝1 2，∴cos θ＝ 2 2 或 cos θ＝－ 2 2 ， 又 θ 为锐角，∴θ＝45°. (2)由已知得AB → ＝(－a＋2，－2)，AC → ＝(b＋2，－4)， 又AB → ∥AC → ，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)， 即Error!整理得 2a＋b＝2， 所以1 a＋1 b＝1 2(2a＋b)(1 a＋1 b)＝1 2(3＋2a b ＋b a)≥1 2(3＋2 2a b ·b a)＝3＋2 2 2 (当且仅当 b＝ 2a 时，等号成立)． 7 思维升华　平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1”解题比较方便． (2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向 量为 λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于 λ 的方程，求出 λ 的值后代入 λa 即可得到所求的向量． 命题点 3　利用平面向量的坐标求最值 例 5　在平行四边形 ABCD 中，∠BAD＝π 3，AB＝1，AD＝ 3，P 为平行四边形内一点，AP＝ 3 2 ，若 AP → ＝λAB → ＋μAD → (λ，μ∈R)，则 λ＋ 3μ 的最大值为________． 答案　1 解析　以点 A 为原点建立如图所示的直角坐标系，则 A(0,0)，B(1,0)，D( 3 2 ，3 2)，所以AB → ＝(1,0)，AD → ＝( 3 2 ，3 2)．设AP → ，AB → 的夹角为 θ(0