2021届高三数学专题复习练习 8.3 空间角的求解(教师版)

1 【课前测试】 如图，斜三棱柱 ABC−A1B1C1 中，平面 ACC1A1⊥平面 BCC1B1，E 为棱 CC1 的中点 ，A1B 与 AB1 交于点 O．若 AC=CC1=2BC=2，∠ACC1=∠CBB1=60°． （Ⅰ）证明：直线 OE∥平面 ABC； （Ⅱ）证明：平面 ABE⊥平面 AB1E； （Ⅲ）求直线 A1B 与平面 ABE 所成角的正弦值． （17）解：（Ⅰ）取 BB1 的中点 F，连结 OF，EF． ∵E，O 分别为 CC1，BA1 的中点， ∴OF∥AB，EF∥BC， ∵OF ⊄平面 ABC，EF ⊄平面 ABC， ∴OF∥平面 ABC，EF∥平面 ABC， ∴平面 OEF∥平面 ABC， ∴直线 OE∥平面 ABC． …………4 分 （Ⅱ）∵AC=2CE=2，∠ACC1=60°， ∴AE⊥CC1， ∵平面 ACC1A1⊥平面 BC C1B1， ∴AE⊥平面 BCC1B1， ∴AE⊥BE． ∵BC=CE=EC1=C1B1=1，∠CBB1=60°， F A1 B B1 E C A C1 M O A1 B B1 E C A C1 O 2 ∴∠CEB=30°，∠C1EB1=60°， ∴∠BEB1=90°，即 BE⊥EB1． ∴BE⊥平面 AB1E， ∴平面 ABE⊥平面 AB1E． …………8 分 （Ⅲ）作 OM⊥AE，M 为垂足，连结 BM． 由（Ⅱ）知 OM⊥平面 ABE， ∴BM 为 OB 在平面 ABE 上的射影， ∴∠OBM 即为直线 A1B 与平面 ABE 所成角． …………10 分 ∵OM⊥AE，EB1⊥AE， ∴OM∥EB1，又 O 为 AB1 的中点， ∴OM= EB1= ，EM= AE= ， ∴BM= ，从而 BO=2， ∴sin∠OBM= ，即直线 A1B 与平面 ABE 所成角的正弦值为 ．…………13 分 2 1 2 1 2 1 2 3 2 15 4 1 4 1 3 空间角的求解 【知识梳理】 一、异面直线所成的角 1、定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成 的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． 2、范围：(0，π 2 ]. 3、求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平 行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移． 4、求异面直线所成角的三个步骤： (1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角． (2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角． (3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果 求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 二、直线和平面所成角 1、定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的 角。 2、直线与平面所成的角θ的范围： 直线与平面相交{不垂直时，0° < 휃 < 90° 垂直时， 휃 = 90° 直线和平面平行或直线在平面内，휃=0°．直线和平面所成角的范围是 0°≤휃≤90°． 3、求法：作出直线在平面上的射影； 4、求斜线与平面所成角的一般步骤： 4 ①确定斜线与平面的交点即斜足； ②经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影； ③解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角． 三、二面角 1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的 棱．这两个半平面叫做二面角的面． 如图(1)可记作：二面角 α－l－β 或 P－AB－Q 或 P－l－Q. 如图(2)对二面角 α－l－β 若有：①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l.则∠AOB 就 叫做二面角 α－l－β 的平面角． 二面角的平面角的范围：[0，180°] 2、二面角的求法 ①定义法②垂线法(利用三垂线定理或逆定理) 3、求二面角的平面角的一般步骤 ①利用平面角的定义法、垂线法等方法做出平面角； ②证明所作角即为所求平面角； ③把所作角放入三角形中求解. 简称：一作、二证、三计算 5 【课堂讲解】 考点一 异面直线所成角的求解 1、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD­A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2， 则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为(　　) A.1 5　　　B.2 5　　　C.3 5　　　D.4 5 解析：连接 BC1，易证 BC1∥AD1， 则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角． 连接 A1C1，由 AB＝1，AA1＝2， 则 A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5， 在△A1BC1 中，由余弦定理得 cos∠A1BC1＝ 5＋5－2 2 × 5 × 5 ＝4 5. 答案：D 2、如图所示，三棱锥 P­ABC 中， PA⊥平面 ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E 是 PC 的中点．求异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值． 解：取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，则 EF∥PB，所以∠AEF(或其补角)就是异面 直线 AE 与 PB 所成的角． ∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面 ABC，∴AF＝ 3，AE＝ 2，EF＝ 2， cos∠AEF＝AE2＋EF2－AF2 2·AE·EF ＝ 2＋2－3 2 × 2 × 2 ＝1 4， 故异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为1 4. 考点二 线面角的求解 1、如图所示，三棱锥 A－SBC 中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC. 6 求直线 AS 与平面 SBC 所成的角． 解：因为∠ASB＝∠ASC＝60°， SA＝SB＝SC， 所以△ASB 与△SAC 都是等边三角形． 因此 AB＝AC. 如图所示，取 BC 的中点 D， 连接 AD，SD，则 AD⊥BC. 设 SA＝a，则在 Rt△SBC 中，BC＝ 2a， CD＝SD＝ 2 2 a. 在 Rt△ADC 中，AD＝ AC2－CD2＝ 2 2 a. 则 AD2＋SD2＝SA2， 所以 AD⊥SD. 又 BC∩SD＝D， 所以 AD⊥平面 SBC. 因此∠ASD 即为直线 AS 与平面 SBC 所成的角． 在 Rt△ASD 中，SD＝AD＝ 2 2 a， 所以∠ASD＝45°， 即直线 AS 与平面 SBC 所成的角为 45°. 2、如图所示，Rt△BMC 中，斜边 BM＝5，它在平面 ABC 上的射影 AB 长为 4，∠MBC＝ 60°，求 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值． 解：由题意知，A 是 M 在平面 ABC 内的射影，∴MA⊥平面 ABC， 7 ∴MC 在平面 CAB 内的射影为 AC. ∴∠MCA 即为直线 MC 与平面 CAB 所成的角． 又∵在 Rt△MBC 中，BM＝5，∠MBC＝60°， ∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5× 3 2 ＝5 3 2 . 在 Rt△MAB 中，MA＝ MB2－AB2＝ 52－42＝3. 在 Rt△MAC 中，sin∠MCA＝MA MC＝ 3 5 3 2 ＝2 3 5 . 即 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值为2 3 5 . 3、四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。（2）SC 与平面 ABC 所成的角。 解：（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA, ∴SC⊥平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60°。 （2） 连结 SM,CM，则 SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面 SCM, ∴面 ABC⊥面 SCM 过 S 作 SH⊥CM 于 H, 则 SH⊥平面 ABC ∴CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH／SC 8 ∴SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为√7／7 考点二 二面角 1、如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求二面角 B－A1C1－B1 的正切值． 解：取 A1C1 的中点 O，连接 B1O，BO.由题意知 B1O⊥A1C1， 又 BA1＝BC1，O 为 A1C1 的中点， 所以 BO⊥A1C1， 所以∠BOB1 即是二面角 B－A1C1－B1 的平面角． 因为 BB1⊥平面 A1B1C1D1，OB1⊂平面 A1B1C1D1，所以 BB1⊥OB1. 设正方体的棱长为 a， 则 OB1＝ 2 2 a， 在 Rt△BB1O 中，tan∠BOB1＝BB1 OB1＝ a 2 2 a ＝ 2， 所以二面角 B－A1C1－B1 的正切值为 2. 2、如图,在三棱锥 中, , , 分别为 的中点. （Ⅰ）求证: 平面 ； （Ⅱ）求证:平面 平面 . （Ⅲ）若△ 是正三角形,且 , ， 求二面角 的余弦值. ABCS − BABS = ACSA ⊥ ED、 SASC、 //DE ABC ⊥DEB SAB ABC 2=AB 22=SC CSAB −− 9 10 【课后练习】 1、如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面 PAC⊥平面 PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3． （Ⅰ）设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH∥平面 PAD； （Ⅱ）求证：PA⊥平面 PCD； （Ⅲ）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值． 证明：（Ⅰ）连结 BD，由题意得 AC∩BD＝H，BH＝DH， 又由 BG＝PG，得 GH∥PD， ∵GH⊄平面 PAD，PD⊂平面 PAD， ∴GH∥平面 PAD． （Ⅱ）取棱 PC 中点 N，连结 DN， 依题意得 DN⊥PC， 又∵平面 PAC⊥平面 PCD，平面 PAC∩平面 PCD＝PC， ∴DN⊥平面 PAC， 又 PA⊂平面 PAC，∴DN⊥PA， 又 PA⊥CD，CD∩DN＝D， ∴PA⊥平面 PCD． 11 （Ⅲ）连结 AN，由（Ⅱ）中 DN⊥平面 PAC， 知∠DAN 是直线 AD 与平面 PAC 所成角， ∵△PCD 是等边三角形，CD＝2，且 N 为 PC 中点， ∴DN＝ ，又 DN⊥AN， 在 Rt△AND 中，sin∠DAN＝ ＝ ． ∴直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 ． 2、如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB＝2，AD＝2 ，∠BAD＝90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值． 证明：（Ⅰ）证明：由平面 ABC⊥平面 ABD，平面 ABC∩平面 ABD＝AB，AD⊥AB， 得 AD⊥平面 ABC，故 AD⊥BC； 12 （Ⅱ）解：取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND， ∵M 为棱 AB 的中点，故 MN∥BC， ∴∠DMN（或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成角， 在 Rt△DAM 中，AM＝1，故 DM＝ ， ∵AD⊥平面 ABC，故 AD⊥AC， 在 Rt△DAN 中，AN＝1，故 DN＝ ， 在等腰三角形 DMN 中，MN＝1，可得 cos∠DMN＝ ． ∴异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 ； （Ⅲ）解：连接 CM，∵△ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点， 故 CM⊥AB，CM＝ ， 又∵平面 ABC⊥平面 ABD，而 CM⊂平面 ABC， 故 CM⊥平面 ABD，则∠CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成角． 在 Rt△CAD 中，CD＝ ， 在 Rt△CMD 中，sin∠CDM＝ ． ∴直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 ． 13 3、如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD⊥平面 PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3， CD＝4，PD＝2． （Ⅰ）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面 PBC； （Ⅲ）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值． 解：（Ⅰ）如图，由已知 AD∥BC， 故∠DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角． 因为 AD⊥平面 PDC，所以 AD⊥PD． 在 Rt△PDA 中，由已知，得 ， 故 ． 所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 ． 证明：（Ⅱ）因为 AD⊥平面 PDC，直线 PD⊂平面 PDC， 所以 AD⊥PD． 又因为 BC∥AD，所以 PD⊥BC， 又 PD⊥PB，所以 PD⊥平面 PBC． 解：（Ⅲ）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF， 14 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角． 因为 PD⊥平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影， 所以∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角． 由于 AD∥BC，DF∥AB，故 BF＝AD＝1， 由已知，得 CF＝BC﹣BF＝2．又 AD⊥DC，故 BC⊥DC， 在 Rt△DPF 中，可得 ． 所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ． 4、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED⊥平面 ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝ 3，BC＝EF＝1，AE＝ ，∠BAD＝60°，G 为 BC 的中点． （1）求证：FG∥平面 BED； （2）求证：平面 BED⊥平面 AED； （3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值． 15 证明：（1）BD 的中点为 O，连接 OE，OG，在△BCD 中， ∵G 是 BC 的中点， ∴OG∥DC，且 OG＝ DC＝1， 又∵EF∥AB，AB∥DC， ∴EF∥OG，且 EF＝OG， 即四边形 OGEF 是平行四边形， ∴FG∥OE， ∵FG⊄平面 BED，OE⊂平面 BED， ∴FG∥平面 BED； （2）证明：在△ABD 中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°， 由余弦定理可得 BD＝ ，仅而∠ADB＝90°， 即 BD⊥AD， 又∵平面 AED⊥平面 ABCD， BD⊂平面 ABCD，平面 AED∩平面 ABCD＝AD， ∴BD⊥平面 AED， 16 ∵BD⊂平面 BED， ∴平面 BED⊥平面 AED． （Ⅲ）∵EF∥AB， ∴直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角， 过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，连接 BH， 又平面 BED∩平面 AED＝ED， 由（2）知 AH⊥平面 BED， ∴直线 AB 与平面 BED 所成的角为∠ABH， 在△ADE，AD＝1，DE＝3，AE＝ ，由余弦定理得 cos∠ADE＝ ， ∴sin∠ADE＝ ， ∴AH＝AD• ， 在 Rt△AHB 中，sin∠ABH＝ ＝ ， ∴直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 5、如图，已知 AA1⊥平面 ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2 ，AA 1＝ ，BB1＝ 17 2 ，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面 A1B1BA； （Ⅱ）求证：平面 AEA1⊥平面 BCB1； （Ⅲ）求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小． 证明：（Ⅰ）证明：连接 A1B，在△A1BC 中， ∵E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点，∴EF∥A1B， 又∵A1B⊂平面 A1B1BA，EF⊄平面 A1B1BA， ∴EF∥平面 A1B1BA； （Ⅱ）证明：∵AB＝AC，E 为 BC 中点，∴AE⊥BC， ∵AA1⊥平面 ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面 ABC， ∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1＝B，∴AE⊥平面 BCB1， 又∵AE⊂平面 AEA1，∴平面 AEA1⊥平面 BCB1； （Ⅲ）取 BB1 中点 M 和 B1C 中点 N，连接 A1M，A1N，NE， ∵N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点，∴NE 平行且等于 B1B， 18 ∴NE 平行且等于 A1A，∴四边形 A1AEN 是平行四边形， ∴A1N 平行且等于 AE， 又∵AE⊥平面 BCB1，∴A1N⊥平面 BCB1， ∴∠A1B1N 即为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角， 在△ABC 中，可得 AE＝2，∴A1N＝AE＝2， ∵BM∥AA1，BM＝AA1，∴A1M∥AB 且 A1M＝AB， 又由 AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1， 在 RT△A1MB1 中，A1B1＝ ＝4， 在 RT△A1NB1 中，sin∠A1B1N＝ ＝ ， ∴∠A1B1N＝30°，即直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小为 30° 6、如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱 A1A⊥底面 ABC，且各棱长均相等，D，E，F 分别 为棱 AB，BC，A1C1 的中点 （Ⅰ）证明 EF∥平面 A1CD； （Ⅱ）证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1； 19 （Ⅲ）求直线 B1C1 与平面 A1CD 所成角的正弦值． 证明：证明：（I）三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC∥A1C1，AC＝A1C1，连接 ED， 可得 DE∥AC，DE＝ AC，又 F 为棱 A1C1 的中点．∴A1F＝DE，A1F∥DE， 所以 A1DEF 是平行四边形，所以 EF∥DA1， DA1⊂平面 A1CD，EF⊄平面 A1CD，∴EF∥平面 A1CD （II）∵D 是 AB 的中点，∴CD⊥AB， 又 AA1⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC， ∴AA1⊥CD，又 AA1∩AB＝A， ∴CD⊥面 A1ABB1，又 CD⊂面 A1CD， ∴平面 A1CD⊥平面 A1ABB1； （III）过 B 作 BG⊥A1D 交 A1D 于 G， ∵平面 A1CD⊥平面 A1ABB1，且平面 A1CD∩平面 A1ABB1＝A1D， BG⊥A1D， ∴BG⊥面 A1CD， 则∠BCG 为所求的角， 设棱长为 a，可得 A1D＝ ，由△A1AD∽△BGD，得 BG＝ ， 20 在直角△BGC 中，sin∠BCG＝ ＝ ， ∴直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值 ． 7、如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2 ，PD＝ CD＝2． （1）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值； （2）证明：平面 PDC⊥平面 ABCD； （3）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 证明：（1）解：如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中， 因为底面 ABCD 是矩形，所以 AD＝BC，且 AD∥BC， 又因为 AD⊥PD， 故∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成角， 在 Rt△PDA 中， ＝2， 21 所以异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2． （2）证明：由于底面 ABCD 是矩形，故 AD⊥DC， 由于 AD⊥PD，CD∩PD＝D， 因此 AD⊥平面 PDC，而 AD⊂平面 ABCD，所以平面 PDC⊥平面 ABCD． （3）解：在平面 PDC 中，过点 P 作 PE⊥CD 于 E，连接 EB． 由于平面 PDC⊥平面 ABCD， 而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线， 故 PE⊥平面 ABCD． 由此得∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成角， 在△PDC 中， 由于 PD＝CD＝2，PC＝2 ，可得∠PCD＝30°， 在 Rt△PEC 中，PE＝PCsin30°＝ ． 由 AD∥BC，AD⊥平面 PDC，得 BC⊥平面 PDC， 因此 BC⊥PC． 在 Rt△PCB 中，PB＝ ＝ ． 在 Rt△PEB 中，sin∠PBE＝ ＝ ． 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ． 22 23 【课后测试】 如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为 AC 中点，PO⊥平面 ABCD，PO＝2，M 为 PD 中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面 ACM； （Ⅱ）证明：AD⊥平面 PAC； （Ⅲ）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值． 证明：（I）证明：连接 BD，MO 在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点， 所以 O 为 BD 的中点，又 M 为 PD 的中点，所以 PB∥MO 因为 PB⊄平面 ACM，MO⊂平面 ACM 所以 PB∥平面 ACM （II）证明：因为∠ADC＝45°，且 AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即 AD⊥AC 又 PO⊥平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD，所以 PO⊥AD，AC∩PO＝O，AD⊥平面 PAC （III）解：取 DO 中点 N，连接 MN，AN 因为 M 为 PD 的中点，所以 MN∥PO，且 MN＝ PO＝1，由 PO⊥平面 ABCD，得 MN⊥平面 ABCD 所以∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角． 在 Rt△DAO 中， ，所以 ， ∴ ， 24 在 Rt△ANM 中， ＝ ＝ 即直线 AM 与平面 ABCD 所成的正切值为