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推理与证明
一、利用三角形全等证明线段相等和角相等
我们知道如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的性质为我们证明线段相等和角相等提供了方法。
例1 已知：如图，为上一点，点分别在两侧．，，．求证：．A
C
E
D
B
分析：从图形中我们发现，AC、CD正好是
△ ABC和△CDE的对应边，我们只要证明了△ABC和△CDE
全等就可以证明结论成立。
怎样证明这两个三角形确定呢？我们从已知条件出发，展开联想，寻找出全等的条件即可。
题目中的第一个条件：→∠B=∠E
题目中的第二个条件：，正好分别是等角的边。
这时，三角形全等的条件齐了，可以书写证明过程了。
证明：，∴．
在和中，
∵ ∴．
∴．
在上面的证明过程中，我们是怎样书写证明过程的呢？
上面的证明过程可以分为三部分：
第一部分，使用了一个逻辑推理。，∴．这个推理为后面证明两个三角形全等起到准备条件的作用，也就是说，在证明三角形全等的三个条件中，已知条件中已经具备了两个，还需要一个条件，这个推理为三角形全等找到了第三个条件。
第二部分，证明两个三角形全等。
第三部分，利用全等三角形的性质，推理得出线段相等。
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例2 如图，在等腰梯形中，，是的中点，
求证：．
分析：从图中我们发现，线段MB，MC可以看成是
△ABM和△CDM的对应边，我们只要证明了△ABM和△CDM
全等就可以证明结论成立。
怎样证明这两个三角形确定呢？我们从已知条件出发，展开联想，寻找出全等的条件即可。
题目中的第一个条件：
在等腰梯形中，→AB=CD，∠A=∠D
题目中的第二个条件：是的中点→AM=DM。
这时，三角形全等的条件齐了，可以书写证明过程了。
证明：在等腰梯形中， ∴
∵是的中点 ∴
在和中，
∵ ∴（SAS）．
∴．
上面的证明过程可以分为三部分：
第一部分，使用了两个逻辑推理。
①在等腰梯形中， ∴
②∵是的中点 ∴
这两个推理为后面证明两个三角形全等起到准备条件的作用，也就是说，在证明三角形全等的三个条件中，已知条件中没有给出现成的条件，需要寻找三个条件，这两个推理为三角形全等找齐了三个条件。
第二部分，证明两个三角形全等。
第三部分，利用全等三角形的性质，推理得出线段相等。
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例3 已知：如图，四边形ABCD中，．求证：．
分析：根据上面的经验，如果我们能把∠A，∠C
看作两个三角形的对应角，我们只需证明两个三角形全等
即可。但是图中没有三角形，怎么办？
我们可以添加“辅助线”，构造全等三角形。
如图，连接B、D，得到△ABD和△CBD，我们只要能够证明这两个三角形全等就可以了。
显然，已知条件中已经有了两个全等的条件，而我们
添加的“辅助线”正好是两个三角形的公共边，是全等的第
三个条件。这时，两个三角形全等的条件已经具备，我们来书写证明过程：
证明：连接BD．
在△和△中，
∵ ∴△≌△．
∴
另外，我们还可以这样来添加“辅助线”：
如图，连接A、C，得到△ABC和△ACD，我们只要能够证明∠BAD和∠BCD被AD分成的两部分分别相等就可以了。
题目中的第一个条件：AB=BC→∠BAC=∠BCA
题目中的第二个条件：AD=CD→∠DAC=∠DCA
证明：连结
∵，∴
同理
∵
∴．
这个证法使用等边对等角，先证明了∠BAD和∠BCD
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的两个部分分别相等，又使用等式的性质，证明了∠BAD和∠BCD整体相等。
例4 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且．求证：是的中点.
分析：这个题目要证明D是BC的中点，也就是证明BD=DC，
也是证明两条线段相等，从图中我们可以看出，BD与DC所在的两个三角形△ABD和△ACD的形状不同，显然，利用这两个三角形全等来证明BD=DC是不行的。
我们再仔细、全面地观察图形，发现△AEF和△DBE的形状、大小相同，这两个三角形有可能全等。
我们从已知条件出发，展开联想：
题目中的第一个条件：是的中点→AE=DE
题目中的第二个条件：
过点作的平行线交的延长线于，即AF∥BC→∠AFE=∠DBE
题目中的第三个条件：→如果AF=BD成立，则BD=DC成立。
图中还有一对对顶角。
这时，可以先证△AEF和△DBE全等，得到AF=BD，然后根据，可以得到BD=DC了，下面书写证明过程：
证明：是的中点 ∴AE=DE
∴∠AFE=∠DBE
在△AEF和△DEB中
∵ ∴△AEF≌△DEB
∴AF=DB
∴DB=DC
即是的中点．
在这个题目中，BD与DC所在的两个三角形△ABD和△ACD的形状不同，显然，利用这两个三角形全等来证明BD=DC不行，而发现△AEF和△DBE的形状、大小相同，这两个三角形有可能全等（实际上△AEF和△DBE全等
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）。在证明了这两个三角形全等后，题目的第三个条件就是一座桥，通过这个条件使证明得以完成。
例5 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．
分析：如图，要证明CE⊥BE，有两种方法：
一是证明△BCE是直角三角形；二是证明∠CED+∠BEA=90°。
（一）如果证明△BCE是直角三角形，通常需要使用勾股定理的逆定理来判定。这样就要知道三边CE、BE、CD的长度。
我们从已知条件出发，展开联想：
题目中的第一个条件：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°→∠D=90°
即△ECD和△EBA都是直角三角形。
题目中的第二个条件：AB=2，BC=3，CD=1，这些数据可以帮助我们分别求出CE、BE的长度。
题目中的第三个条件：E是AD中点→DE=AE=AD
在Rt△ECD和Rt△EBA中，要分别求出CE、BE的长度还需要知道DE和AE的长度，而DE=AE=AD，因此，需要求出AD的长度。
如图，通过作“辅助线”：过C作CF⊥AB，垂足为F，很
容易知道四边形AFCD是矩形，CF=AD，△CBF也是直角三角形。
我们可以在这个直角三角形中求出CF的长，这样也就知道了DA的长，进而DE、AE的长也知道了。要求出CF，关键是知道BF=AB－CD=1。
证明: 过点C作CF⊥AB，垂足为F
∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，
∴ ∠D＝∠A＝∠CFA＝90°．
∴四边形AFCD是矩形．
∴AD=CF AF=CD
BF=AB-AF=AB－CD=1．
在Rt△BCF中，根据勾股定理，得 CF2+BF2=BC2 ∴CF==
∴ AD=CF=．
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∵E是AD中点 ∴ DE=AE=AD=
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得 AE2+AB2=BE2 ∴BE2=6
同理，EC2 =3，
在△BCE中，EB2+ EC2=9=BC2 ∴∠CEB＝90°
即EB⊥EC．
（二）如果证明∠CED+∠BEA=90°，由于题目中给出已知条件是线段的长度，在一般情况下，只知道线段的长度是不能求出∠CED和
∠BEA的度数，显然不能利用这种方法证明结论成立。
（注意：如果∠CED+∠BEA+∠CEF+∠BEF=180°，
且∠CED=∠CEF，∠BEA=∠BEF，就可以得到：
∠CED+∠BEA+∠CEF+∠BEF=2（∠CED+∠BEF）=180°
→∠CED+∠BEF=90°）
例6 把两个含有45°角的直角三角板ABC和EDC如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．
分析：图中有两个等腰直角三角形，就有很多相等
的线段和角，证明三角形全等比较容易。但是图形比较
复杂，不容易找出全等三角形。
我们从已知条件出发，展开联想：
题目中的第一个条件：
两个含有45°角的直角三角板ABC和EDC
→AC=BC，CD=CE，∠ABC=∠DCE=90°
→△ACD和△BCE全等
题目中的第二个条件：点D在BC上→BC与AF相交与D→∠ADC=∠BDF
利用全等三角形对应角相等，可以得到∠DAC＝∠EBC，再利用对顶角相等，可以知道△BFD和△ACD已经有两个角对应相等，那么第三个角一定相等。而第三个角中有一个角是直角，那么另一个角也一定是直角。
证法一：在△ACD和△BCE中
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∵
∴ △ACD≌△BCE（SAS）
∴ ∠DAC＝∠EBC
∵ ∠ADC＝∠BDF
∴ ∠ ACD=∠BFD＝90° 即AF⊥BE
我们发现上面使用红字的推理使用了简写，完整的书写应该是：
在△ACD和△BCE中
∵∠DAC＝∠EBC ∠ADC＝∠BDF
∴∠DAC＋∠ADC＝
∴180°－（∠DAC＋∠ADC）=180°－（∠EBC＋∠BDF）
即∠ACD=∠BFD
∵∠ACD=＝90° ∴∠BFD＝90° 即AF⊥BE
证法二：在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∵ AC＝BC DC＝EC，
∴ 即tan∠DAC＝tan∠EBC
∴ ∠DAC＝∠EBC
∵ ∠ADC＝∠BDF ∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°
∴ ∠BFD=90° ∴ AF⊥BE
（注意：在直角三角形中，如果两个角的三角函数值相等，那么这两个角也相等。在其它三角形中这个命题则不一定成立。）
二、与四边形有关的证明
与四边形有关的证明，主要是证明符合条件的图形是我们熟悉的特殊四边形。这类题目的证明，首先要求我们熟悉各种特殊四边形的性质和判定，然后根据题目的已知条件选择方法，最后完成证明。
例7 如图，在四边形中，点是线段
上的任意一点（与不重合），分别是
的中点．证明四边形
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是平行四边形；
分析：要证明一个四边形是平行四边形，可以根据题目中的条件，选择适当的方法完成证明。
根据题目中的条件：分别是的中点→FH∥BE，FH=BE=GE→四边形EGFH是平行四边形．
证明：在中，
∵G，F分别是的中点 ∴且
∵H是的中点， ∴且
∴四边形是平行四边形
例8 如图，已知平行四边形中，对角线
交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求证：四边形是矩形．
分析：要证一个平行四边形是菱形，只需证这个四边形有一组邻边相等。
我们从已知条件出发，展开联想：
题目中的第一个条件：
平行四边形中，对角线AC、BD交于点O→O为线段AC的中点
→O为线段AC中垂线上的点
题目中的第二个条件：
是延长线上的点，且是等边三角形→AE=CE→E为线段AC中垂线上的点
这样OE为线段AC的中垂线，而D在OE上→DA=DC
（1）_______________________________________________________________________________________________________________________________证法一：∵四边形是平行四边形 ∴AO=CO
∴O为线段AC中垂线上的点
∵△ACE是等边三角形 ∴AE=CE
∴E为线段AC中垂线上的点
∴OE为线段AC的中垂线
∵D在OE上 ∴DA=DC
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∴平行四边形是菱形。
另外，我们还可以利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来判定。
（1）_______________________________________________________________________________________________________________________________证法二：∵四边形是平行四边形 ∴AO=CO
∵△ACE是等边三角形 ∴EO⊥AC 即
∴平行四边形是菱形。
这里使用了“等腰三角形三线合一”定理。
分析：要证一个平行四边形是矩形，只需证这个四边形有一个角是直角。
我们从已知条件出发，展开联想：
题目中的第一个条件：平行四边形中，对角线AC、BD交于点O→OA=OC
题目中的第二个条件：是等边三角形→∠AFC=60°
是等边三角形，OA=OC→EO平分∠AEC→∠AED=30°
根据附加的条件：若→∠EAD=15°
图中∠AEO是△ADE的外角→∠AEO=∠AED＋∠EAD=30°＋15°=45°，
前面我们已经证明了四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，可以知道
∠ADC=2∠AEO =90°，这样有一个角是直角的平行四边形就是矩形了。
下面我们完成证明过程的书写：
（2）证明：在平行四边形中，
对角线AC、BD交于点O ∴OA=OC
∵是等边三角形 ∴∠AFC=60°
∵是等边三角形 OA=OC ∴EO平分∠AEC
∴∠AED=30°
∵ ∴∠EAD=15°
∴∠AEO=∠AED＋∠EAD=30°＋15°=45°
在菱形中 ∵∠ADC=2∠AEO ∴∠ADC=90°
∴四边形是矩形
例9 在菱形中，°，过点作
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且与AB的延长线交于点E．求证：四边形
AECD是等腰梯形．
分析：证明一个四边形是等腰梯形，首先证明这个四边形是梯形，即这个四边形有一组对边平行，然后再证明这个梯形的两腰相等。
证法1：∵四边形ABCD是菱形
∴AB//CD AC平分∠DAB
∵AC平分∠DAB ∠DAB=60°
∴∠CAE
∵ ∴∠E = 90°－∠CAE = 90°－30°= 60°
∴
∵AB//CD ∴四边形是等腰梯形．
从上面的例题中我们可以看出，与四边形有关的证明比利用三角形全等证明角和边相等复杂的多。但是，只要熟悉四边形特别是平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形、等腰梯形、直角梯形的性质和判定方法，这些题目也是容易完成的。
我们知道，完成证明需要完成两部分，第一部分就是寻找完成证明的思路，第二部分是完成证明的书写。
怎样寻找证明的思路呢？需要对证明的结论进行分析，看需要具备什么条件才能得以证明，然后开始从已知条件出发，展开联想。要对每一个条件认真思考，进行简单的推理。如果通过对已知条件的联想和推理，还不能够得到结论，就需要从图形中挖掘条件。通常较为复杂的图形中隐含的条件较多，简单的图形隐含的条件较少。当图形中的隐含条件还不够用时，可以考虑填加辅助线。
怎样完成证明的书写呢？证明的书写是证明过程的再现，因此要有条理。因为证明是由一个、一个推理组成的，所以，在书写时可以按照下面讲解的方法进行。
○你知道什么是推理吗？
推理是人们的思维过程。是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。生活中我们经常使用“推理”，例如：“
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一叶知秋”就是一个推理，意思是看到树上一片叶子落下来，就知道秋天来了（这个推理是否正确且先不论）。
推理有时得到的新的判断是正确的，有时也可能是错误的，因此进行正确的推理就需要采用正确的方法。
○你知道演绎推理吗？
演绎推理：从一般性的原理出发。推出某个特殊情况下的结论的推理，称作演绎推理。
演绎推理是由一般到特殊的推理。
数学的证明主要通过演绎推理来进行。
○你知道演绎推理的模式吗？
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的。
例如：证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
已知： AB=AC
（1）若∠A=60°
（2）若∠B=60°
求证：AB=BC=AC
在再这个命题（1）的证明过程中，我们使用了下列3个推理：
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（1）（大前提）等腰三角形的两个底角相等
（小前提） AB=AC
（结论） ∠B=∠C
（2）（大前提）三角形三个内角的和等于180°
（小前提） ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角
（结论） ∠A+∠B+∠C= 180°
（3）（大前提）有两个角相等的三角形是等腰三角形
（小前提） ∠A=∠B= 60°
（结论） BC=AC
除此之外，我们还使用了一些代数计算：
60°+2∠B= 180°→ ∠B= 60°
另外，还使用了“等量代换”：AB=AC =BC
○你知道怎样书写证明过程吗？
在上面的例子中，我们在书写证明过程中有一些常规:
例如推理（1）：
（大前提）等腰三角形的两个底角相等
（小前提） AB=AC
（结论） ∠B=∠C
应写成：
∵AB=AC ∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等）
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注意：我们发现大前提被写在后面的括号里，也就是老师常说的著名理由。当然，考试时是不需要注明理由的，但是我们必须知道有没有理由，并且这个理由正确不正确，正确的理由一定是我们学过的定义、公理、定理等。
我们发现小前提实际上是题目给出的已知条件，我们在它前面写上“∵”，在结论前面写上“∴”。
只要我们将每一个推理的大前提、小前提和结论都能够正确的书写，然后再加上代数计算等，最后在调整一下推理的前后顺序，证明就能够基本书写清楚了，证明过程就完成了。
例如：上面的题目，可以这样书写：
已知： AB=AC
（1）若∠A=60°
（2）若∠B=60°
求证：AB=BC=AC
证明：（1） ∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角
∴ ∠A+∠B+∠C= 180° 即60°+2∠B= 180°
∴∠B= 60°
∵ ∠A=∠B= 60° ∴BC=AC
∴AB=AC =BC
○你发现证明书写过程有哪些规律吗？
我们发现：
（1）在证明的书写过程中， “∵”、“∴”成对出现。
例如：∵AB=AC ∴∠B=∠C
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这说明，一个推理应该是完整的。
（2）在证明的书写过程中还出现了 “∵”、“∴”，“∴”的形式。
例如：∵∠A=∠B= 60° ∴BC=AC ∴AB=AC =BC
这实际上是两个推理的简写形式，这两个推理应该写成：
∵∠A=∠B= 60° ∴BC=AC
∵AB=AC BC=AC ∴AB=AC =BC
（3）实际上推理还有 “∵”、“∵”，“∴”的形式，这实际上是由两个条件推出一个结论的推理过程的书写形式。
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