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2012年广安中考数学试卷解析
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的，请将符合要求的选项的代号填涂在机读卡上（每题3分，共30分）
1．﹣8的相反数是（ ）
A．
8
B．
﹣8
C．
D．
﹣
考点：
相反数。
分析：
根据相反数的概念，互为相反数的两个数和为0，即可得出答案．
解答：
解：根据概念可知﹣8+（﹣8的相反数）=0，所以﹣8的相反数是8．
故选A．
点评：
主要考查相反数概念．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．经专家估算，整个南海属我国传统海疆线的油气资源约合15000亿美元，开采前景甚至要超过英国的北海油田，用科学记数法表示15000亿美元是（ ）美元．
A．
1.5×104
B．
1.5×105
C．
1.5×1012
D．
1.5×1013
考点：
科学记数法—表示较大的数。
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于15000亿有13位，所以可以确定n=13﹣1=12．
解答：
解：15000亿=1 500 000 000 000=1.5×1012．
故选C．
点评：
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．
3a﹣a=3
B．
a2•a3=a5
C．
a15÷a3=a5（a≠0）
D．
（a3）3=a6
考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
专题：
计算题。
分析：
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及同类项的合并进行各项的判断，继而可得出答案．
解答：
解：A、3a﹣a=2a，故本选项错误；
B、a2•a3=a5，故本选项正确；
C、a15÷a3=a12（a≠0），故本选项错误；
D、（a3）3=a9，故本选项错误；
故选B．
点评：
此题考查了同底数幂的除法运算，解答本题要求我们掌握合并同类项的法则、完全平方公式及同底数幂的除法法则．
4．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
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A．
美
B．
丽
C．
广
D．
安
考点：
专题：正方体相对两个面上的文字。
分析：
这种展开图是属于“1，4，1”的类型，其中，上面的1和下面的1是相对的2个面．
解答：
解：由正方体的展开图特点可得：“建”和“安”相对；“设”和“丽”相对；“美”和“广”相对；
故选D．
点评：
考查正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．
商家卖鞋，最关心的是鞋码的中位数
B．
365人中必有两人阳历生日相同
C．
要了解全市人民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法
D．
随机抽取甲、乙两名同学的5次数学成绩，计算得平均分都是90分，方差分别是=5，=12，说明乙的成绩较为稳定
考点：
方差；全面调查与抽样调查；统计量的选择；可能性的大小。
分析：
分别利用方差、全面调查与抽样调查、统计量的选择及可能性的大小的知识进行逐项判断即可．
解答：
解：A、商家卖鞋，最关心的鞋码是众数，故本选项错误；
B、365天人中可能人人的生日不同，故本选项错误；
C、要了解全市人民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法，故本选项正确；
D、方差越大，越不稳定，故本选项错误；
故选C．
点评：
本题考查了方差、全面调查与抽样调查、统计量的选择及可能性的大小的知识，考查的知识点比较多，但比较简单．
6．在平面直角坐标系xOy中，如果有点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在y=﹣的图象上，前面的四种描述正确的是（ ）
A．
①②
B．
②③
C．
①④
D．
③④
考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标；关于原点对称的点的坐标。
专题：
探究型。
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分析：
分别根据关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称及反比例函数图象上点的坐标特点进行解答．
解答：
解：∵点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），
∴P、Q两点关于原点对称，故①②错误，③正确；
∵（﹣2）×1=2×（﹣1﹣2，
∴点P与点Q都在y=﹣的图象上，故④正确．
故选D．
点评：
本题考查的是关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称及反比例函数图象上点的坐标特点，熟知以上知识是解答此题的关键．
7．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（ ）
A．
100m
B．
100m
C．
150m
D．
50m
考点：
解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析：
根据题意可得=，把BC=50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可．
解答：
解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，
∴=，
∵BC=50m，
∴AC=50m，
∴AB==100m，
故选：A．
点评：
此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
8．已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．
a＞2
B．
a＜2
C．
a＜2且a≠l
D．
a＜﹣2
考点：
根的判别式。
专题：
计算题。
分析：
利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．
解答：
解：△=4﹣4（a﹣1）
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=8﹣4a＞0
得：a＜2．
又a﹣1≠0
∴a＜2且a≠1．
故选C．
点评：
本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．
9．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（ ）
A．
45°
B．
75°
C．
45°或75°
D．
60°
考点：
等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。
分析：
首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．
解答：
解：如图1：AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=BC，∠ADB=90°，
∵AD=BC，
∴AD=BD，
∴∠B=45°，
即此时△ABC底角的度数为45°；
如图2，AC=BC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AD=BC，
∴AD=AC，
∴∠C=30°，
∴∠CAB=∠B==75°，
即此时△ABC底角的度数为75°；
综上，△ABC底角的度数为45°或75°．
故选C．
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点评：
此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
10．时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化，设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，图中能大致表示y与t之间的函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
函数的图象。
分析：
根据分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，即可得出符合要求的图象．
解答：
解：∵设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，
∴当3：00时，y=90°，当3：30时，时针在3和4中间位置，故时针与分针夹角为：y=75°，
又∵分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，
故只有D符合要求，
故选：D．
点评：
本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
二、填空题：请把最简答案直接填写在题目的横线上（每小题3分，共18分）
11．分解因式：3a2﹣12= 3（a+2）（a﹣2） ．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用。
分析：
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：
解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
点评：
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
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12．实数m、n在数轴上的位置如图所示，则|n﹣m|= m﹣n ．
考点：
实数与数轴。
分析：
首先观察数轴，可得n＜m，然后由绝对值的性质，可得|n﹣m|=﹣（n﹣m），则可求得答案．
解答：
解：如图可得：n＜m，
即n﹣m＜0，
则|n﹣m|=﹣（n﹣m）=m﹣n．
故答案为：m﹣n．
点评：
此题考查了利用数轴比较实数的大小的知识．此题比较简单，注意数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．
13．不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是 1，2，3 ．
考点：
一元一次不等式的整数解。
专题：
计算题。
分析：
先解不等式，求出其解集，再根据解集判断其正整数解．
解答：
解：2x+9≥3（x+2），
去括号得，2x+9≥3x+6，
移项得，2x﹣3x≥6﹣9，
合并同类项得，﹣x≥﹣3，
系数化为1得，x≤3，
故其正整数解为1，2，3．
点评：
本题考查了一元一次不等式的整数解，会解不等式是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 240 度．
考点：
多边形内角与外角。
专题：
数形结合。
分析：
利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．
解答：
解：∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，
∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°，
∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°，
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故答案为240．
点评：
考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．
15．如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 （4+）π （结果用含有π的式子表示）
考点：
弧长的计算；旋转的性质。
分析：
根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．
解答：
解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；
∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，
∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π．
故答案为：（4+）π．
点评：
本题考查了弧长公式：l=（其中n为圆心角的度数，R为半径）；也考查了旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
16．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
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考点：
二次函数图象与几何变换。
分析：
根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可．
解答：
解：过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，
得出二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：
0=（﹣6+3）2+h，
解得：h=﹣，
∴点P的坐标是（3，﹣），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=3×|﹣|=．
故答案为：．
点评：
本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．
三、解答题（本大题共4个小题，第17题5分，其它各6分，共23分）
17．计算：﹣（﹣）﹣cos45°+3﹣1．
考点：
实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
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专题：
计算题。
分析：
先将二次根式化为最简，然后计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，最后合并即可．
解答：
解：原式=+﹣+=+1．
点评：
此题考查了实数的运算，解答本题的关键是掌握负整数指数幂的运算，也要熟练记忆一些特殊角的三角函数值．
18．（2012•广安）解方程：．
考点：
解分式方程。
分析：
观察可得最简公分母是3（3x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需检验．
解答：
解：方程两边同乘以3（3x﹣1），
得：2（3x﹣1）+3x=1，
解得x=．
检验：当x=时，3（3x﹣1）=0，即x=不是原方程的解，
则原分式方程无解．
点评：
此题考查了分式方程的解法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定。
专题：
证明题。
分析：
由四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，即可得AB=CD，AB∥CD，又由平行线的性质，即可得∠D=∠EAF，然后由BE=AD，AF=AB，求得AF=CD，DF=AE，继而利用SAS证得：△AEF≌△DFC．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠D=∠EAF，
∵AF=AB，BE=AD，
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∴AF=CD，AD﹣AF=BE﹣AB，
即DF=AE，
在△AEF和△DFC中，
，
∴△AEF≌△DFC（SAS）．
点评：
此题考查了平行四边形的性质与全等三角的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
20．如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=．
（1）求双曲线和和直线的解析式．
（2）求△AOB的面积．
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：
计算题。
分析：
（1）把点B的坐标代入双曲线解析式，利用待定系数法求函数解析式解答；根据AC=可得点A的横坐标，然后求出点A的坐标，再利用待定系数法求函数解析式求解直线的解析式；
（2）设直线与x轴的交点为D，利用直线的解析式求出点D的坐标，从而得到OD的长度，再根据S△AOB=S△AOD+S△BOD，列式计算即可得解．
解答：
解：（1）∵点B（2，﹣3）在双曲线上，
∴=﹣3，
解得k=﹣6，
∴双曲线解析式为y=﹣，
∵AC=，
∴点A的横坐标是﹣，
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∴y=﹣=4，
∴点A的坐标是（﹣，4），
∴，
解得，
∴直线的解析式为y=﹣2x+1；
（2）如图，设直线与x轴的交点为D，
当x=0时，﹣2x+1=0，
解得x=，
所以，点D的坐标为（，0），
∴OD=，
S△AOB=S△AOD+S△BOD=××4+××3=1+=．
点评：
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
四、实践应用：（本大题共4个小题，其中21题6分，其它小题各8分，共30分）
21．为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．
（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？
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考点：
列表法与树状图法。
分析：
（1）首先根据题意画出树状图，然后利用树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）由小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，利用概率公式即可求得答案．
解答：
解：（1）画树状图得：
如图，可得某个同学抽签的所有等可能情况有16种；
（2）∵小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，
∴他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是=．
点评：
此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22．某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。
分析：
（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案；
（2）设购买购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可；
（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用．
解答：
解：（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：
，
解得：．
答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元．
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（2）设购买购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得：
，
解得：99≤a≤101，
∵a为正数，
∴a=99，100，101，则电脑依次买：297台，296台，295台．
因此该校有三种购买方案：
方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；
方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；
方案一：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块．
（3）解法一：
购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：
方案一：295×4000+101×15000=2695000（元）
方案一：296×4000+100×15000=2684000（元）
方案一：297×4000+99×15000=2673000（元）
因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元．
解法二：
设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元，
则W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000，
∵W随z的增大而减小，∴当z=297时，W有最小值=2673000（元）
因此，当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，这时共需费用2673000元．
点评：
此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
23．如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，=2.45）．
考点：
解直角三角形的应用-方向角问题。
专题：
探究型。
分析：
过点A作AD⊥BC的延长线于点D，则△ACD是等腰直角三角形，根据AC=10
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海里可求出AD即CD的长，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长进而可得出BC的长，再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行，国军舰正以每小时13海里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间，进而得出结论．
解答：
解：过点A作AD⊥BC的延长线于点D，
∵∠CAD=45°，AC=10海里，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD===5（海里），
在Rt△ABD中，
∵∠DAB=60°，
∴BD=AD•tan60°=5×=5（海里），
∴BC=BD﹣CD=（5﹣5）海里，
∵中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，
∴海监船到达C点所用的时间t===（小时）；
某国军舰到达C点所用的时间i==≈=0.4（小时），
∵＜0.4，
∴中国海监船能及时赶到．
点评：
本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
24．现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．
考点：
图形的剪拼。
分析：
根据题意画出所有的四边形，再根据勾股定理、平行四边形的性质分别进行计算即可求出各个四边形的两条对角线长的和．
解答：
解：如图：
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∵等腰三角形的周长为32cm，底比一腰多2cm，
∴AB=AC=10，
BD=CD=6，
AD=8，
拼成的各种四边形如下：①
∵BD=10，
∴四边形的两条对角线长的和是10×2=20；
②
∵AC===4，
∴四边形的两条对角线长的和是AC+BD=4+8；
③
∵BD===2；
∴四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=6+2；
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④
∵BD=2BO=2×4.8=9.6，
∴四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=9.6+10=19.6．
点评：
此题考查了图形的剪拼，解题的关键是根据题意画出所有的图形，用到的知识点是勾股定理、平行四边形的性质等．
六、拓展探索题（10分）．
25．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
考点：
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。
专题：
几何综合题。
分析：
（1））根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线．
（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP=sin∠DBC===，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4．
（3）先求出AC的长度，然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长．
解答：
解：（1）∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°，
∴∠BCP+∠BCA=90°，
∴直线CP是⊙O的切线．
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（2）如右图，作BD⊥AC于点D，
∵PC⊥AC
∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2，sin∠BCP=，
∴sin∠BCP=sin∠DBC===，
解得：DC=2，
∴由勾股定理得：BD=4，
∴点B到AC的距离为4．
（3）如右图，连接AN，
在Rt△ACN中，AC==5，
又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3．
∵BD∥CP，∴，∴CP=．
在Rt△ACP中，AP==，
AC+CP+AP=5++=20，
∴△ACP的周长为20．
点评：
本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．
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（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题。
分析：
（1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB1面积的方法，如图1所示；
（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．
解答：
解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4，
∴B（﹣4，0），B1（0，﹣4），A2（3，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，
∴，
解得
∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4．
（2）点P是第三象限内抛物线y=x2+x﹣4上的一点，
如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=m2+m﹣4．
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于是PC=|n|=﹣n=﹣m2﹣m﹣4，OC=|m|=﹣m，BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m．
S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC﹣S△OBB1
=×BC×PC+×（PC+OB1）×OC﹣×OB×OB1
=×（4+m）×（﹣m2﹣m﹣4）+×[（﹣m2﹣m﹣4）+4]×（﹣m）﹣×4×4
=m2﹣m=（m+2）2+
当m=﹣2时，△PBB1的面积最大，这时，n=，即点P（﹣2，）．
（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为．
如答图2，过点Q作QD⊥BB1于点D．
由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：（x0+2）2+，
在Rt△OBB1中，BB1==
∵S△QBB1=×BB1×QD=××=2，
∴（x0+2）2+=2，
解得x0=﹣1或x0=﹣3
当x0=﹣1时，y0=﹣4；当x0=﹣3时，y0=﹣2，
因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为，这样的点Q的坐标是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）．
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点评：
本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点．第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握．
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