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各地解析分类汇编:导数（1）
1 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】方程的实根个数是
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】C
【解析】设，，由此可知函数的极大值为，极小值为，所以方程的实根个数为1个.选C.
2 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，在点的切线斜率为。所以切线方程为，即，与坐标轴的交点坐标为，所以三角形的面积为，选B.
3 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】若在上是减函数，则b的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的导数，要是函数在上是减函数，则，在恒成立，即，因为，所以，即成立。设，则，因为，所以，所以要使成立，则有，选C.
4 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】若函数（
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）有大于零的极值点，则实数范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为函数y=e（a-1）x+4x，所以y′=（a-1）e（a-1）x+4（a＜1），所以函数的零点为x0=，因为函数y=e（a-1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，故＝0，得到a0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值（）
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A.2 B.3 C.6 D.9
【答案】D
【解析】函数的导数为，函数在处有极值，则有，即，所以，即，当且仅当时取等号，选D.
8 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】 函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意，,则的解集为( )
A.(-1，1) B.(-1，+∞) C.(-∞，-l) D.(-∞,+∞)
【答案】B
【解析】设, 则，
，对任意，有，即函数在R上单调递增，则的解集为，即的解集为，选B.
9 【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】已知，则 .
【答案】-4
【解析】函数的导数为，所以，解得，所以，所以，所以。
10 【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（文）】已知函数的定义域［-1，5］，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，
x
-1
0
2
4
5
F(x)
1
2
1.5
2
1
下列关于函数的命题；
①函数的值域为［1，2］；
②函数在［0，2］上是减函数
③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；
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④当时，函数最多有4个零点.
其中正确命题的序号是 .
【答案】①②④
【解析】由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当或，，函数单调递减，当和，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值,，又，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为，①正确；②正确；因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以③不正确；由知，因为极小值，极大值为，所以当时，最多有4个零点，所以④正确，所以真命题的序号为①②④.
11 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，得，当，得，由图象可知，要使函数有三个不同的零点，则有，即，所以实数的取值范围是。
12 【北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学（文）】已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为 .
【答案】1
【解析】因为函数的保值区间为，则
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的值域也是，因为因为函数的定义域为，所以由，得，即函数的递增区间为，因为的保值区间是，所以函数在上是单调递增，所以函数的值域也是，所以，即，即。
13 【北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学（文）】（本小题满分14分）
已知．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若 求函数的单调区间；
（Ⅲ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ） ∵ ∴∴ …………1分
∴ ， 又，所以切点坐标为
∴ 所求切线方程为，即. …………4分
（Ⅱ）
由 得 或 …………5分
(1)当时，由， 得．
由， 得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
…………7分
(2)当时，由，得．
由，得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
综上：
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当时，的单调递减区间为，
单调递增区间为和
当时，的单调递减区间为
单调递增区间为和.
…………9分
（Ⅲ）依题意，不等式恒成立, 等价于
在上恒成立
可得在上恒成立 ………………11分
设, 则
………………12分
令，得（舍）当时，；当时，
当变化时，变化情况如下表：
+
-
单调递增
-2
单调递减
∴ 当时,取得最大值, =-2
∴ 的取值范围是. ………14分
14 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】本小题满分14分）
已知函数处取得极值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.
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【答案】（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，
∴f′(x)=3x2－x+b. ……2分
∵f(x)在x=1处取得极值，
∴f′(1)=3－1+b=0.
∴b=－2. ……3分
经检验，符合题意. ……4分
（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.
∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)， …5分
x
1
(1,2)
2
f′(x)
+
0
－
0
+
f(x)
……7分
∴当x=－时，f(x)有极大值+c.
又
∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c. ……8分
∴c2>2+c. ∴c2. …………10分
（Ⅲ）对任意的恒成立.
由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值.
又 …12分
∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为.
，故结论成立. ……14分
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15 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】（本小题满分12分）
已知是函数的一个极值点．
（1）求的值；
（2）任意，时，证明：
【答案】（1）解：， --------------2分
由已知得，解得．
当时，，在处取得极小值．所以. ---4分
（2）证明：由（1）知，，.
当时，，在区间单调递减；
当时，，在区间单调递增.
所以在区间上，的最小值为.------ 8分
又，，
所以在区间上，的最大值为. ----------10分
对于，有．
所以. -------------------12分
16 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】（本小题满分14分）
已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
（2）记函数，若的最小值是，求函数的解析式.
【答案】⑴ ∴在上恒成立…………2分
令
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∵恒成立 ∴…………4分
… ………6分
∴ … ………7分
(2)
∵ …………9分
易知时, 恒成立
∴无最小值,不合题意 ∴…………11分
令,则(舍负) 列表如下,(略)可得,
在 (上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点。
…………13分
解得 …………14分
17 【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）若在处取得极大值，求实数a的值；
（Ⅱ）若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围；
（Ⅲ）若，求在区间［0，1］上的最大值。
【答案】解：（Ⅰ）因为………………2分
令，所以随的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
Z
极大值
］
极小值
Z
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……………………4分
所以 …………………………5分
（由得出，或，在有单调性验证也可以（标准略））
（Ⅱ）因为 ……………………6分
因为，直线都不是曲线的切线，
所以无实数解 ……………………7分
只要的最小值大于
所以 ……………………8分
（Ⅲ）因为，所以，
当时，对成立
所以当时，取得最大值 ……………………9分
当时，在时，，单调递增
在单调递减
所以当时，取得最大值………………10分
当时，在时，，单调递减
所以当，取得最大值 ……………………11分
当时，在时，单调递减
在时，，单调递增
又，
当时，在取得最大值
当时，在取得最大值
当时，在，处都取得最大值0.…………14分
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综上所述，
当时，取得最大值
当时，取得最大值
当时，在，处都取得最大值0
当时，在取得最大值.
18 【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 文】（本小题满分13分）
已知。
（1）若a=0时，求函数在点（1，）处的切线方程；
（2）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）令是否存在实数a，当是自然对数的底）时，函数的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
【答案】
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19 【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学（文）】本小题满分12分）已知函数
(1) 若在区间［1，+）上是增函数，求实数的取值范围
（2） 若是的极值点，求在［1，］上的最大值
【答案】
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20 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】（本小题满分14分）已知函数，
（I）求的单调区间；
（II）求在区间上的最小值。
【答案】解：（I），……………………………………………………..3分
令；所以在上递减，在上递增；…………………………………………………………………………………………6分
（II）当时，函数在区间上递增，所以；
当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；
当时，函数在区间上递减，所以。
……………………………………………………………………………………………….14分
21 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】（本题满分13分）
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函数；
（1） 求在上的最值；
（2） 若，求的极值点
【答案】
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22【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】（本题满分13分）
已知函数
（1） 求的单调区间；
（2） 若，函数，若对任意的，总存在，使，求实数b的取值范围。
【答案】
23 【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（文）】（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围；
（Ⅲ）若对任意，且恒成立，求的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）当时，.………………2分
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因为.
所以切线方程是 …………………………4分
（Ⅱ）函数的定义域是. ………………5分
当时，
令，即，
所以或. ……………………7分
当，即时，在［1，e]上单调递增，
所以在［1，e]上的最小值是；
当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；
当时，在（1，e）上单调递减，
所以在［1，e]上的最小值是，不合题意………………9分
（Ⅲ）设，则，
只要在上单调递增即可.…………………………10分
而
当时，，此时在上单调递增；……………………11分
当时，只需在上恒成立，因为，只要，
则需要，………………………………12分
对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，
即.
综上. ………………………………………………14分
24 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分12分）已知，．
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（1）求在上的最小值；
（2）若对一切，成立，求实数的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ），令．
当单调递减；
当单调递增．
，
（1）当；
（2）当
所以 …………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由得.
设，则. 令，得或（舍），当时，，h(x)单调递减；当时，，h(x)单调递增，所以 所以 …………………………………（12分）
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