第二章 圆锥曲线与方程同步练测（北师大版选修1-1）
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满分
实际得分
120分钟
150分
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2.方程表示的曲线是（ ）
A.双曲线 B.椭圆
C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分
3.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.或
4.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知定点，给出下列曲线方程：
①；②；③；④，在曲线上存在点满足的所有曲线方程是（ ）
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
7.已知椭圆，直线交椭圆于两点，△的面积为（为原点），则函数（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.不是奇函数，也不是偶函数
D.奇偶性与有关
8.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于，两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
9.已知双曲线的左焦点为，顶点为，是双曲线上任意一点，则分别以线段，为直径的两圆的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上情况都有可能
10.已知方程和，其中,它们所表示的曲线可能是下列图象中的（ ）
A B
C D
11.已知抛物线上一点 到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
12.椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)
13.已知椭圆与双曲线－ 有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，则 ．
14.双曲线的一条准线方程是，则的值为 ．
15.椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点,那么的值是 .
16.若过两点和的直线与抛物线 没有交点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本题共6小题，共74分）
17.(本小题满分12分)已知椭圆（＞0）经过点，它的焦距为2，它的左、右顶点分别为是该椭圆上的一个动点（非顶点），点是点关于轴的对称点，直线与相交于点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求点的轨迹方程．
18. (本小题满分12分)已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3，求的值
19.(本小题满分12分)设双曲线，的离心率为，若右准线与两条渐近线相交于两点，为右焦点，△为等边三
角形．
（1）求双曲线离心率的值；
（2）若双曲线被直线截得的弦长为，求双曲线的方程．
20．（本小题满分12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程.
（2）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值．
22．(本小题满分14分)设分别为椭圆：的左、右两个焦点.
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.
（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线写出类似的性质，并加以证明
一、选择题
1.B 解析：由题意知抛物线的准线方程为，椭圆的焦点为.
∵ 椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，∴ ，即．
∴ .解得．∴ ．
2.D 解析：方程可化为．
3.A 解析：由双曲线标准方程的形式可知若表示双曲线，则有或
∴ ．
4.D 解析：由椭圆的方程知，∴，∴ 抛物线的焦点为（－2，0），∴ 抛物线的标准方程是．
5.C 解析：∵ 双曲线的渐近线方程为，
∴ 动点与原点连线的斜率为且.
由已知的取值范围为，可得.①
∵ 双曲线的焦距为，即=5，∴ .②
联解①②，可得，∴ 双曲线的方程为.
6.D 解析：要使这些曲线上存在点满足，需曲线与的垂直平分线相交．
由题意知的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线为.
因为与的斜率相同，所以两直线平行，故两直线无交点，①不符合题意．
将与联立，消去，得，，可知②中的曲线与的垂直平分线有交点，②符合题意.
将与联立，消去，得，，可知③中的曲线与的垂直平分线有交点，③符合题意.
将与联立，消去，得，，可知④中的曲线与的垂直平分线有交点，④符合题意.
7.B 解析：是直线与椭圆相交所得的△的面积，由椭圆的对称性可知 ，所以是偶函数．
8.D 解析：∵ 椭圆的左焦点为，右顶点为，∴ .
∵ 抛物线与椭圆交于两点，
∴ 两点关于轴对称，可设.
∵ 四边形是菱形，∴ .
将代入抛物线方程，得.
∴ .将其代入椭圆方程，得，即.
化简、整理，得，解得
9.B 解析：设的中点为，若在双曲线左支上，则，即圆心距为两圆半径之和，此时两圆外切；若在双曲线右支上，同理可求得，此时两圆内切，所以两圆的位置关系为相切.
10.B 解析：方程可化成，可化成.
对于A，由双曲线可知：，，∴ ，即直线的斜率应大于0，故错；
对于C，由椭圆可知：，，∴ ，即直线的斜率应小于0，故错；同理错.所以选B．
11.B 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为
又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.
12. B 解析：设，，，则，，.又可看作点到原点的距离的平方，所以，所以＝.
由题意知，即，则.
二、填空题
13. 解析：因为椭圆与双曲线有共同的焦点，
所以其焦点位于轴上.由椭圆及双曲线的对称性可知，不妨设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为，由椭圆以及双曲线的定义可得， ，
由①②，得，．所以．
14. 解析：由题意可知双曲线的焦点在轴上，所以.双曲线方程可化为，
因此，，.因为准线方程是，所以，即，
解得.
15. 解析：由题意知，，联立方程得解得
取点坐标为，则，.
∴ .
16. 解析：过两点的直线方程为，将其与抛物线方程联立并消去，得．因为直线与抛物线没有交点，所以方程无解，即，解得．
三、解答题
17.解：（1）由题意得，即，.
∵ 椭圆经过点，
∴ =6，∴ ，∴ .
∴ 所求椭圆的标准方程为.
（2），设，则的方程为.①
的方程为.②
①×②，得.③
∵ 点在椭圆上，
∴ ，即.
代入③，得.
由是椭圆上的非顶点，知，
∴ 点的轨迹方程为.
18.解：由直线过抛物线的焦点，得直线的方程为.
由消去，得.
由题意得.
设直线与抛物线交于，.
，∴ 解得.
19.解：（1）双曲线的右准线的方程为，两条渐近线方程为．
所以两交点坐标为，．
设直线与轴的交点为,因为△为等边三角形，则有,
所以，即,
解得，．所以．
（2）由（1）得双曲线的方程为．
把代入得．
依题意所以，且．
所以双曲线被直线截得的弦长为
.
因为，所以,
整理，得,所以或．
所以双曲线的方程为或．
20.解：（1）设抛物线方程为，将代入方程得，所以抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.
由题意知椭圆、双曲线的焦点为所以.
对于椭圆，,所以，
，所以，所以椭圆方程为.
对于双曲线，，所以，，
所以，所以双曲线方程为.
（2）设的中点为，的方程为，以为直径的圆交于两点，的中点为
令则，所以
所以
当时，为定值，所以为定值，此时的方程为.
21.（1）解：设椭圆方程为
则直线的方程为代入，并消去得.
令则
由与共线，得
又所以所以
即所以所以故离心率
（2）证明：由（1）知，所以椭圆可化为.
设由已知得，所以
因为点在椭圆上，所以
即 ①
由（1）知
所以
所以
又，代入①得故为定值1.
22.解：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.
又点在椭圆上，因此，解得，于是.
所以椭圆的方程为，焦点，.
（2）设椭圆上的动点，则线段的中点满足，
即，.因此，即为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，
当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.
证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中.
又设点的坐标为，由，得.
将代入得
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