2．1.4 映射的概念
课时目标 1.了解映射的概念.2.了解函数与映射的区别与联系．
1．一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的________元素，在B中都有______的元素与之对应，那么，这样的__________叫做集合A到集合B的映射，记作________．
2．映射与函数
由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________．
一、填空题
1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是________．(填序号)
①A中的每一个元素在B中必有元素与之对应；
②B中每一个元素在A中必有元素与之对应；
③A中的一个元素在B中可以有多个元素与之对应；
④A中不同元素在B中对应的元素必不同．
2．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列能表示从P到Q的映射的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；
④f：x→y＝.
3．下列集合A到集合B的对应中，不能构成映射的是________．(填序号)
4．下列集合A，B及对应法则能构成函数的是________．(填序号)
①A＝B＝R，f(x)＝|x|；
②A＝B＝R，f(x)＝；
③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3；
④A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0.
5．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：
①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；
③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；
④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A
中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．
上述四个对应中映射的个数为______，函数的个数为______．
6．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．
7．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→，则经过两次映射，A中元素1在C中的对应的元素为________．
8．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：
映射f的对应法则如下：
A中元素
1
2
3
4
对应元素
3
4
2
1
映射g的对应法则如下：
A中元素
1
2
3
4
对应元素
4
3
1
2
则f[g(1)]的值为________．
9．已知f是从集合M到N的映射，其中M＝{a，b，c}，N＝{－3,0,3}，则满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的映射f的个数是________．
二、解答题
10．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋在B中的对应元素和B中元素－1在A中的对应元素．
11．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应法则f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．
能力提升
12．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素在B中的对应元素和B中元素在A中的对应元素．
13．在下列对应法则中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是．
(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；
(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；
(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；
(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；
(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．
1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．
2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．
3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，若惟一则这个对应就是映射．
2．1.4 映射的概念
知识梳理
1．每一个 惟一 单值对应 f：A→B 2.函数 非空数集
作业设计
1．①
2．①②④
解析 如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应法则f在Q中有惟一元素和它对应，选项③中，当x＝4时，y＝×4＝∉Q.
3．①②③
解析 ①、②中的元素2没有对应的元素；③中1的对应有两个；只有④满足映射的定义．
4．①③④
解析 在②中f(0)无意义，即A中的数0在B中找不到和它对应的数．
5．4 2
解析 ①、②、③、④都是映射；②、③是函数．
6．4
解析 由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的对应元素的问题，总共有如图所示的4种可能．
7.
解析 A中元素1在B中对应的元素为2×1－1＝1，
而1在C中对应的元素为＝.
8．1
解析 ∵g(1)＝4，∴f[g(1)]＝f(4)＝1.
9．7
解析
f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.
10．解 当x＝1＋时，x2－2x－1＝(1＋)2－2×(1＋)－1＝0，所以1＋的对应元素是0.
当x2－2x－1＝－1时，x＝0或x＝2.
因为0∉A，所以－1的对应元素是2.
11．解 由f(1)＝4，f(2)＝7，列方程组：
⇒.
故对应法则为f：x→y＝3x＋1.由此判断出A中元素3的对应值是n4或n2＋3n.若n4＝10，因为n∈N*，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A中的元素m的对应元素是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的对应元素是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.
12．解 将x＝代入对应法则，可求出其在B中的对应元素(＋1,3)．
由 得x＝.
所以在B中的对应元素为(＋1,3)，在A中对应元素为.
13．解 (1)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f是A到B的映射．
(2)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应法则f不是A到B的映射．
(3)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射．
(4)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射．
(5)当x＝0∈A，无意义，故对应法则f不是从A到B的映射．
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