第2课时 对数运算
课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝________；
(2)loga＝___________；
(3)logaMn＝__________(n∈R)．
2．对数换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
一、填空题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号)
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②(logax)n＝nlogax；
③＝loga；
④＝logax－logay.
2．计算：log916·log881的值为__________．
3．若log5·log36·log6x＝2，则x＝________.
4．已知3a＝5b＝A，若＋＝2，则A＝________.
5．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3＝________(用a、b表示)．
6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值为________．
7．2log510＋log50.25＋(－)÷＝______________.
8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
二、解答题
10．(1)计算：lg－lg＋lg 12.5－log89·log34；
(2)已知3a＝4b＝36，求＋的值．
11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
能力提升
12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：
组号
一
二
三
四
五
六
七
x
0.301 03
0.477 11
0.698 97
0.778 15
0.903 09
1.000 00
1.079 18
10x
2
3
5
6
8
10
12
假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．
13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
1．在运算过程中避免出现以下错误：
loga(MN)＝logaM·logaN.
loga＝.
logaNn＝(logaN)n.
logaM±logaN＝loga(M±N)．
2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：
logab＝(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)．
由对数换底公式又可得到两个重要结论：
(1)logab·logba＝1；
(2)＝logab.
3．对于同底的对数的化简常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
第2课时 对数运算
知识梳理
1．(1)logaM＋logaN (2)logaM－logaN (3)nlogaM 2.1
作业设计
1．③
2.
解析 log916·log881＝·＝·＝.
3.
解析 由换底公式，得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
4.
解析 ∵3a＝5b＝A>0，
∴a＝log3A，b＝log5A.
由＋＝logA3＋logA5＝logA15＝2，
得A2＝15，A＝.
5.
解析 ∵log89＝a，∴＝a.
∴log23＝a.
lg 3＝＝＝.
6．2
解析 由根与系数的关系可知lg a＋lg b＝2，
lg alg b＝.
于是(lg)2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－4×＝2.
7.－3
解析 原式＝2(log510＋log50.5)＋(－)
＝2log5(10×0.5)＋
＝2＋－5＝－3.
8．1
解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
9．1 000
解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，
则8－6＝(lg E2－lg E1)，即lg＝3.
∴＝103＝1 000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．
10．解 (1)方法一 lg－lg＋lg 12.5－log89·log34
＝lg(××12.5)－·＝1－＝－.
方法二 lg－lg＋lg 12.5－log89·log34
＝lg－lg＋lg－·
＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－·
＝(lg 2＋lg 5)－＝1－＝－.
(2)方法一 由3a＝4b＝36得：a＝log336，b＝log436，
所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
方法二 因为3a＝4b＝36，所以＝3,＝4，
所以()2·＝32×4，
即＝36，故＋＝1.
11．解 原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·(＋)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
12．二
解析 由指数式与对数式的互化可知，
10x＝N⇔x＝lg N，
将已知表格转化为下表：
组号
一
二
三
四
五
六
七
N
2
3
5
6
8
10
12
lg N
0.301 03
0.477 11
0.698 97
0.778 15
0.903 09
1.000 00
1.079 18
∵lg 2＋lg 5＝0.301 03＋0.698 97＝1，
∴第一组、第三组对应值正确．
又显然第六组正确，
∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09，
∴第五组对应值正确．
∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18，
∴第四组、第七组对应值正确．
∴只有第二组错误．
13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.
依题意，得＝0.75x，即x＝
＝＝
＝≈4.
∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
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