章末过关检测卷(二)
第2章 平面解析几何初步
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线过点(1，2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是(A)
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：直线斜率为k＝＝，故倾斜角为30°.
2．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为(A)
A．(－2，1) B．(2，1) C．(1，－2) D．(1，2)
解析：直线mx－y＋2m＋1＝0可化为
(x＋2)m＋1－y＝0，
令得
3．过点(3，4)且与两点(4，－2)、(－2，2)等距离的直线方程是(C)
A．2x＋3y－18＝0和2x＋y－2＝0 B．3x－2y＋18＝0和x＋2y＋2＝0
C．2x＋3y－18＝0和2x－y－2＝0 D．3x－2y＋28＝0和2x－y－2＝0
4．(2013·重庆卷)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(B)
A．6 B．4 C．3 D．2
5．(2013·陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(B)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
6．空间直角坐标系中，点(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是(B)
A．(－2，1，－4) B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1，4) D．(2，1，－4)
7．(2014·安徽卷)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l
6
的倾斜角的取值范围是(D)
A. B.
C. D.
解析：利用数形结合思想及圆的几何性质求解．
方法一 如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知|OP|＝2，OA＝1，则sin a＝，所以a＝30°，∠BPA＝60°.故直线l的倾斜角的取值范围是.故选D.
方法二 设过点P的直线方程为y＝k(x＋)－1，则由直线和圆有公共点知≤1.
解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是.
8．以A(－2，－2)、B(－3，1)、C(3，5)、D(7，－7)为顶点的四边形是(D)
A．正方形 B．矩形
C．平行四边形 D．梯形
9．(2013·广东卷)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(A)
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
10．(2013·天津卷)已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(C)
A．－ B．1 C．2 D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)
6
11．直线5x＋12y＋13＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．
解析：把5x＋12y＋13＝0化为10x＋24y＋26＝0，由平行线之间的距离公式d＝＝.
答案：
12．(2013·湖北卷)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos θ＋ysin θ＝1.设圆O到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.
解析：圆心O到直线xcos θ＋ysin θ＝1距离d＝1，即直线与圆相交．因为半径r＝＞2，所以O上到直线l的距离等于1的点的个数为4个，所以k＝4.
答案：4
13．(2014·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．
解析：作出图象，数形结合解答．
依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°，如图，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.
答案：2
14．(2013·四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)、B(1，5)、C(3，6)、D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
解析：设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．
又kAC＝＝2，
∴直线AC的方程为 y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.①
6
又kBD＝＝－1，
∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，
即x＋y－6＝0.②
由①②得∴∴M(2，4)．
答案：(2，4)
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
15．(本小题满分12分)求经过A(－2，3)、B(4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．
解析：过A、B两点的直线方程是＝，
点斜式为：y＋1＝－(x－4)，
斜截式为：y＝－x＋，
截距式为：＋＝1，
一般式为：2x＋3y－5＝0.
16．(本小题满分12分)已知三条直线l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＝0交于一点，求k的值．
解析：l1与l2的相交，由得交点坐标为(－1，－2)，此点在l3上，故－1－2k＝0，得k＝－.
17．(本小题满分14分)(2013·江西卷)若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，求圆C的方程．
6
解析：如图，因为圆C经过坐标原点O和点A(4，0)，所以圆心必在线段OA的中垂线上，所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为C(2，b)，b＜0，半径为R.
因为圆与直线y＝1相切，所以R＝1－b，且b2＋22＝R2＝(1－b)2.解得b＝－，所以圆心为，半径R＝1－b＝1－＝.所以圆的方程为(x－2)2＋＝.
18．(本小题满分14分)已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值．
解析：设x＋y＝t，则直线y＝－x＋t与圆(x－3)2＋
(y－3)2＝6有公共点．
∴≤.
∴6－2≤t≤6＋2.
因此x＋y最小值为6－2，最大值为6＋2.
19．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0，2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．
解析：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6，0)，过P(0，2)且斜率k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0.
整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36×(1＋k2)＝42×(－8k2－6k)＞0，解得－＜k＜0，即k的取值范围为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得：
6
x1＋x2＝－.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③
因为P(0，2)，Q(6，0)，＝(6，－2)．所以＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝－.而由(1)知k∈，故没有符合题意的常数k.
20．(本小题满分14分)(2013·四川卷)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且＝＋，请将n表示为m的函数．
(1)解析：将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4得
(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)
由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0得k2＞3.所以k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则
|OM|2＝(1＋k2)x21，|ON|2＝(1＋k2)x22.
又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，
由＝＋，得
＝＋，
即＝＋＝.
由(*)知x1＋x2＝，x1x2＝，
所以m2＝，因为点Q在直线上l上，所以k＝，代入m2＝可得5n2－3m2＝36，由m2＝及k2＞3得0＜m2＜3，即m∈(－，0)∪(0，)．依题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n＝＝.于是，n与m的函数关系为n＝[m∈(－，0)∪(0，)]．
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