章末过关检测卷(一)
第1章 立体几何初步
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·四川卷)一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体可以是(D)
A．棱柱 B．棱台
C．圆柱 D．圆台
2．给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等；②棱台的各侧棱不一定相交于一点；③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连接它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台；④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线．其中正确的个数为(D)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．如右图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(D)
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．
4．(2014·辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(B)
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A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m//α，m⊥n，则n⊥α
分析：利用直线与平面平行和垂直的判定定理直接判断或利用正方体判断．
解析：方法一 若m∥x，n∥x，则m，n可能平行、相交或异面，A错；
若m⊥x，n⊂x，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；
若m⊥x，m⊥n，则n∥x或n⊂x，C错；
若m∥x，m⊥n，则n与x可能相交，可能平行，也可能n⊂x，D错．
方法二 如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，用平面ABCD表示x.
A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥x，n∥x，但m与n是相交直线，故A错；
B项中，m⊥x，n⊂x，∴m⊥n.这是线面垂直的性质，故B正确；
C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥x，m⊥n，但n⊂x，故C错；
D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥x，m⊥n，但n∥x，故D错．
5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(B)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：取A1B1的中点Q，连接GQ、HQ.即∠HGQ即为异面直线EF与GH所成的角，易求得∠HGQ＝60°.
6．在所有棱长都相等的四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
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下面四个结论中不成立的是(C)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
7．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm，把它们重叠在一起组成一个对角线最长的新长方体，则该最长对角线的长度是(B)
A. cm B．5 cm
C．7 cm D．10 cm
8．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(D)
A.π B.π C.π D.π
解析：V＝V大圆锥－V小圆锥＝πr2(1＋1.5－1)＝π.
9．(2014·辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(B)
A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－
解析：根据俯视图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体．
这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－×π×12×2×2＝8－π.
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10．(2013·辽宁卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(C)
A. B．2 C. D．3
解析：由球心O作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M.∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴AM＝BC＝.连接OA，则OA＝＝＝，即已求O的半径为，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)
11．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
解析：设正四棱锥的高为h，则×()2h＝，解得高h＝.底面正方形的对角线长为×＝，所以OA＝＝，所以球的表面积为4π()2＝24π.
答案：24π
12．(2014·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
解析：先由三视图还原几何体，再分析几何体中的位置和数量关系，解三角形求最长棱的棱长，
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根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥PABC，由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝，所以最长的棱为PC，PC＝＝2.
答案：2
13．(2013·湖北卷)我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆来接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆地直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九尺，则平地降水量是________寸．
(注：①平地降水量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
解析：作出圆台的轴截面如下图所示，由题意知，BF＝14(单位寸，下同)，OC＝6，OF＝18，OG＝9，即G是中点，所以GE为梯形的中位线．所以GE＝＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为(100π＋36π＋)×9＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以＝3，即平地降雨量是3寸．
答案：3
14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中真命题的序号是________．
解析：如下图所示，命题①：取BD中点E，连接AE，CE有BD⊥AE，BD⊥CE，所以BD⊥面ACE，所以BD⊥AC.命题②：设正方形的边长为a，所以AE＝EC＝a，因为△AEC为直角三角形，所以AC＝a，所以△ACD为等边三角形．命题③：面ABD⊥面BCD，所以AE⊥面BCD，所以∠ABE即为AB与面BCD所成的角，∠ABE＝45°，故该命题错误．命题④：取AD中点F，AC中点G，连接EF，FG，CE，∠EFG即为AB与CD所成角，易得△EFG为等边三角形，故∠EFG为60°.
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答案：①②④
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥PABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．
分析：(1)找出平面AEC内的直线并证明线线平行；(2)利用体积求出线段的长，再作直线与平面垂直，并加以证明、求解．
(1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)解：由V＝PA·AB·AD＝AB，又V＝，可得AB＝.作AH⊥PB交PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH.
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故AH⊥平面PBC.
在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，所以AH＝＝.
所以A到平面PBC的距离为.
16．(本小题满分12分)(2013·安徽卷)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.
(1)证明：PC⊥BD；
(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积．
解析：(1)证明：如图，连接BD，AC交于点O.
∵PB＝PD，
∴PO⊥BD.
又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.而AC∩PO＝O，∴BD⊥面PAC.∴BD⊥PC.
(2)由(1)知BD⊥面PAC.由已知得BD＝2，AC＝2，PO＝.
∴S△PEC＝S△PAC＝××2×＝.
∴VPBCE＝VBPEC＝·S△PEC·BO＝××1＝.
17．(本小题满分14分)如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，O在AB上，且OB＝OC＝AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO＝AB.
(1)求证：PB∥平面COD；
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(2)求证：PD⊥平面COD.
证明：(1)∵PO⊥平面ABC，AD∥PO，
∴DA⊥AB，PO⊥AB.
又DA＝AO＝PO，
∴∠AOD＝45°.
又OB＝OC＝AB，AO＝AB，∴OB＝OP.
∴∠OBP＝45°.∴OD∥PB.
又PB⊄平面OCD，OD⊂平面COD.
∴PB∥平面COD.
(2)依题意可设OA＝a，
则PO＝OB＝OC＝2a，DA＝a，
由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，
知DA⊥平面ABC.
从而PD＝DO＝a，
在△PDO中，
∵PD＝DO＝a，PO＝2a，
∴△PDO为直角三角形．故PD⊥DO.
又∵OC＝OB＝2a，∠ABC＝45°，
∴CO⊥AB.
又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC.
又∵AB∩PO＝O，
∴CO⊥平面PAB.故CO⊥PD.
∵CO与DO相交于点O，
∴PD⊥平面COD.
18．(本小题满分14分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面
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，求圆锥的表面积和体积．
解析：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的底面半径为r，则πl2＝3π，l＝3；×3＝2πr，r＝1；S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，
V＝Sh＝×π×12×2＝π.
19．(本小题满分14分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．
(1)试画出其直观图；
(2)求它的体积．
解析：(1)几何体的直观图如下图所示．
(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V＝×(1＋2)×1×1＝(m3)．
20．(本小题满分14分)(2014·广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF//DC.其中点E、F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；
(2)求三棱锥MCDE的体积．
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分析：(1)由线面垂直的判定定理直接求证；(2)先计算PD，CF的长，进而求得FG，从而三角形EDC的面积可求出，代入体积公式即得答案．
(1)证明：如图，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.
又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，
所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD，
所以AD⊥CF，即MD⊥CF.
又MF⊥CF，MD∩MF＝M，
所以CF⊥平面DMF.
(2)解析：因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，
所以PD＝，由(1)知FD⊥CF，
在直角三角形DCF中，CF＝CD＝.
过点F作FG⊥CD，得FG＝FGsin 60°＝×＝，
所以DE＝FG＝，故ME＝PE＝－＝，
所以MD＝＝＝.
S△CDE＝DE·DC＝××1＝.
故V△M CDE＝MD·S△CDE＝××＝.
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