数与式——因式分解
一．选择题（共8小题）
1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）
C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25
2．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
3．下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣1） B．a（a﹣2） C．（a﹣2）（a﹣1） D．（a﹣2）（a+1）
5．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2 B．a2+a+1=（a+1）2 C．xy﹣x=x（y﹣1） D．2x+y=2（x+y）
6．下面分解因式正确的是（ ）
A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2
7．分解因式x2y﹣y3结果正确的是（ ）
A．y（x+y）2 B．y（x﹣y）2 C．y（x2﹣y2） D．y（x+y）（x﹣y）
8．下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 C．x2+1=（x+1）2 D．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2
二．填空题（共8小题）
9．分解因式：a2+ab= _________ ．
10．分解因式：2a2﹣6a= _________ ．
11．若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为 _________ ．
12．因式分解：x2y﹣2xy2= _________ ．
13．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于 _________ ．
14．因式分解：m（x﹣y）+n（x﹣y）= _________ ．
15．已知实数a，b满足ab=3，a﹣b=2，则a2b﹣ab2的值是 _________ ．
16．若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是 _________ ．
三．解答题（共8小题）
8
17．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
18．已知a﹣b=1且ab=2，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
19．分解因式：a3﹣2a2+a．
20．证明：不论x取何实数，多项式﹣2x4+12x3﹣18x2的值都不会是正数．
21．已知x=y+4，求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．
22．给出三个整式a2，b2和2ab．
（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；
（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．
23．已知实数a、b满足ab=1，a+b=2，求代数式a2b+ab2的值．
24．分解因式：mx2﹣8mx+16m．
8
数与式——因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B． a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）
C． （a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D． a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25
考点： 因式分解的意义．
分析： 利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．
解答： 解；A、a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误；
B、a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确；
C、（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误；
D、a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误；
故选：B．
点评： 此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
2．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A． x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D． x2+2x+1
考点： 因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．
专题： 因式分解．
分析： 分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
解答： 解：A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；
C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．
故选：D．
点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
3．下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A． 3个 B．2个 C．1个 D． 0个
考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
专题： 因式分解．
分析： 直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．
解答： 解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；
②x2+4x+4=（x+2）2；正确；
③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原题错误；
故正确的有1个．
故选：C．
点评： 此题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
4．将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A． a（a﹣1） B．a（a﹣2） C．（a﹣2）（a﹣1） D． （a﹣2）（a+1）
8
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 计算题．
分析： 原式利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=（a﹣1+1）（a﹣1﹣1）
=a（a﹣2）．
故选：B．
点评： 此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A． x2﹣y2=（x﹣y）2 B．a2+a+1=（a+1）2 C．xy﹣x=x（y﹣1） D． 2x+y=2（x+y）
考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
分析： 分别利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断得出即可．
解答： 解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；
C、xy﹣x=x（y﹣1），正确；
D、2x+y无法因式分解，故此选项错误；
故选：C．
点评： 此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
6．下面分解因式正确的是（ ）
A． x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C． ax+bx=（a+b）x D． m2﹣2mn+n2=（m+n）2
考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
分析： 直接利用因式分解法的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．
解答： 解：A、x2+2x+1=x（x+2）+1，不是因式分解，故此选项错误；
B、（x2﹣4）x=x3﹣4x，不是因式分解，故此选项错误；
C、ax+bx=（a+b）x，是因式分解，故此选项正确；
D、m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2，故此选项错误．
故选：C．
点评： 此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式等知识，正确把握因式分解的方法是解题关键．
7．分解因式x2y﹣y3结果正确的是（ ）
A． y（x+y）2 B．y（x﹣y）2 C．y（x2﹣y2） D． y（x+y）（x﹣y）
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 首先提取公因式y，进而利用平方差公式进行分解即可．
解答： 解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．
故选：D．
点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
8．下列因式分解正确的是（ ）
A． 2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 C． x2+1=（x+1）2 D． x2﹣x+2=x（x﹣1）+2
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： A直接提出公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；B和C不能运用完全平方公式进行分解；D是和的形式，不属于因式分解．
解答： 解：A、2x2﹣2=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1），故此选项正确；
B、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故此选项错误；
8
C、x2+1，不能运用完全平方公式进行分解，故此选项错误；
D、x2﹣x+2=x（x﹣1）+2，还是和的形式，不属于因式分解，故此选项错误；
故选：A．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
二．填空题（共8小题）
9．分解因式：a2+ab= a（a+b） ．
考点： 因式分解-提公因式法．
专题： 因式分解．
分析： 直接提取公因式a即可．
解答： 解：a2+ab=a（a+b）．
点评： 考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式．
10．分解因式：2a2﹣6a= 2a（a﹣3） ．
考点： 因式分解-提公因式法．
专题： 因式分解．
分析： 观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．
解答： 解：2a2﹣6a=2a（a﹣3）．
故答案为：2a（a﹣3）．
点评： 此题主要考查了因式分解的基本方法一提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．
11．若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为 12 ．
考点： 因式分解-提公因式法．
分析： 首先提取公因式2a，进而将已知代入求出即可．
解答： 解：∵a=2，a﹣2b=3，
∴2a2﹣4ab=2a（a﹣2b）=2×2×3=12．
故答案为：12．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
12．因式分解：x2y﹣2xy2= xy（x﹣2y） ．
考点： 因式分解-提公因式法．
专题： 因式分解．
分析： 直接提取公因式xy，进而得出答案．
解答： 解：x2y﹣2xy2=xy（x﹣2y）．
故答案为：xy（x﹣2y）．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
13．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于 ﹣2 ．
考点： 因式分解-提公因式法．
专题： 因式分解．
分析： 首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
解答： 解：∵ab=2，a﹣b=﹣1，
8
∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
14．因式分解：m（x﹣y）+n（x﹣y）= （x﹣y）（m+n） ．
考点： 因式分解-提公因式法．
专题： 因式分解．
分析： 直接提取公因式（x﹣y），进而得出答案．
解答： 解：m（x﹣y）+n（x﹣y）=（x﹣y）（m+n）．
故答案为：（x﹣y）（m+n）．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
15．已知实数a，b满足ab=3，a﹣b=2，则a2b﹣ab2的值是 6 ．
考点： 因式分解-提公因式法．
专题： 计算题．
分析： 首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
解答： 解：a2b﹣ab2=ab（a﹣b），
将ab=3，a﹣b=2，代入得出：
原式=ab（a﹣b）=3×2=6．
故答案为：6．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
16．若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是 15 ．
考点： 因式分解-提公因式法．
专题： 整体思想．
分析： 直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
解答： 解：∵ab=3，a﹣2b=5，
则a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=3×5=15．
故答案为：15．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
三．解答题（共8小题）
17．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
考点： 因式分解的应用．
专题： 计算题；因式分解．
分析： 先利用因式分解得到原式=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，再把当y=kx代入得到原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）x4，所以当4﹣k2=1满足条件，然后解关于k的方程即可．
解答： 解：能；
（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）
=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）
=（4x2﹣y2）2，
当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，
令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，
即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．
8
点评： 本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
18．已知a﹣b=1且ab=2，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 将原式分解因式，进而将已知代入求出即可．
解答： 解：解法一：∵a﹣b=1且ab=2，
∴a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=2×12=2；
解法二：由a﹣b=1且ab=2
解得或，
当时，a3b﹣2a2b2+ab3=2；
当时，a3b﹣2a2b2+ab3=2．
点评： 此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练利用完全平方公式是解题关键．
19．分解因式：a3﹣2a2+a．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 计算题．
分析： 原式提取a后，利用完全平方公式分解即可．
解答： 解：原式=a（a2﹣2a+1）
=a（a﹣1）2．
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．证明：不论x取何实数，多项式﹣2x4+12x3﹣18x2的值都不会是正数．
考点： 因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．
专题： 证明题．
分析： 将原式因式分解后说明其小于等于0即可．
解答： 证明：原式=﹣2x 2（ x 2﹣6x+9 ）
=﹣2x 2（ x﹣3 ）2．
∵﹣2x2≤0，（x﹣3）2≥0
∴﹣2x 2（ x﹣3 ）2≤0
∴不论x取何实数，原式的值都不会是正数．
点评： 本题考查了因式分解的应用、配方法的应用及非负数的性质，对原式正确的进行因式分解是解题的关键．
21．已知x=y+4，求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．
考点： 因式分解的应用．
分析： 根据已知条件“x=y+4”可知“x﹣y=4”；然后将所求的代数式转化为含有x﹣y的形式，将x﹣y的值代入求值即可．
解答： 解：∵x=y+4，
8
∴x﹣y=4，
∴2x2﹣4xy+2y2﹣25=2（x2﹣2xy+y2）﹣25=2（x﹣y）2﹣25=2×16﹣25=7．
点评： 本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
22．给出三个整式a2，b2和2ab．
（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；
（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．
考点： 因式分解的应用；代数式求值．
分析： （1）将a2+b2+2ab利用完全平方公式分解因式后，把已知条件代入求值；
（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，都能使所得的多项式因式分解，先对所选的整式进行因式分解，然后将已知条件代入求值即可．
解答： 解：（1）当a=3，b=4时，a2+b2+2ab=（a+b）2=49．（3分）
（2）答案不唯一，式子写对给（1分），因式分解正确给（2分）．例如，
若选a2，b2，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．（3分）
若选a2，2ab，则a2±2ab=a（a±2b）．（3分）
点评： （1）主要考查了利用完全平方公式进行因式分解的解题方法；
（2）这是一道开放型题目，答案不唯一，只要根据所选整式先进行因式分解，再把已知条件代入求值．
23．已知实数a、b满足ab=1，a+b=2，求代数式a2b+ab2的值．
考点： 因式分解的应用．
专题： 计算题；整体思想．
分析： 先提取公因式ab，整理后再把ab和a+b的值代入计算即可．
解答： 解：当ab=1，a+b=2时，
原式=ab（a+b）=1×2=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．
24．分解因式：mx2﹣8mx+16m．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
解答： 解：mx2﹣8mx+16m=m（x2﹣8x+16）=m（x﹣4）2．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
8
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