图形的性质——尺规作图2
一．选择题（共9小题）
1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
2．下列作图语句正确的是（ ）
A．延长线段AB到C，使AB=BC B．延长射线AB
C．过点A作AB∥CD∥EF D．作∠AOB的平分线OC
3．下列语句（ ）正确．
A．射线比直线短一半
B．延长AB到C
C．两点间的线叫做线段
D．经过三点A，B，C不一定能画出直线来
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC=60°
③点D在AB的垂直平分线上
④AB=2AC．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
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6．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2x，y+1），则y关于x的函数关系为（ ）
A．y=x B．y=﹣2x﹣1 C．y=2x﹣1 D．y=1﹣2x
7．如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点P、M，连接PA、PB、MA、MB，则下列结论一定正确的是（ ）
A．PA=MA B．MA=PE C．PE=BE D．PA=PB
8．如图，已知∠AOB，按照以下步骤画图：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C．
（3）作射线OC．
则判断△OMC≌△ONC的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
9．如图，七年级（下）教材第4页给出了利用三角尺和直尺画平行线的一种方法，能说明AB∥DE的条件是（ ）
A．∠CAB=∠FDE B．∠ACB=∠DFE C．∠ABC=∠DEF D．∠BCD=∠EFG
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二．填空题（共6小题）
10．∠AOB如图所示，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）． _________
11．如图，点A是直线l外一点，在l上取点B、C．按下列步骤作图：分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D．则四点A、B、C、D可组成的图形是 _________ ．
12．如图，是格点（横、纵坐标都为整数的点）三角形，请在图中画出与全等的一个格点三角形．
13．在如图所示的方格纸上过点P画直线AB的平行线．
14．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 _________ 个．
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15．如图，网格中有△ABC和点D，请你找出另外两点E、F，在图中画出△DEF，使△ABC≌△DEF，且顶点A、B、C分别与D、E、F对应．
三．解答题（共6小题）
16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）
（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 _________ 度和 _________ 度；
（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；
（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有 _________ 个等腰三角形，其中有 _________ 个黄金等腰三角形．
17．如图，Rt△ABC的直角边BC=8，AC=6
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线l，垂足为D，（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；
（2）连结D、C两点，求CD的长度．
18．如图①，将一张直角三角形纸片△ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．
（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）若一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？
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19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AE∥BC．
（1）作∠ADC的平分线DF，与AE交于点F；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AD=2，求DF的长．
20．如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC=6，OA=10．
（1）在BC边上求作一点E，使OE=OA；（保留作图痕迹，不写画法）
（2）求出点E的坐标．
21．如图，在△ABC中，BC=AC，且CD∥AB，设△ABC的外心为O．
（1）用尺规作出△ABC的外接圆O．（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）中，连接OC，并证明OC是AB的中垂线；
（3）直线CD与⊙O有何位置关系，试证明你的结论．
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图形的性质——尺规作图2
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A． 边边边 B边角边 C角边角 D． 角角边
考点： 作图—基本作图；全等三角形的判定．
专题： 压轴题．
分析： 通过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边，判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得出∠A′O′B′=∠AOB．
解答： 解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′A′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角．
在△O′C′D′与△OCD中，
，
∴△O′C′D′≌△OCD（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是边边边．
故选A．
点评： 此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．
2．下列作图语句正确的是（ ）
A． 延长线段AB到C，使AB=BC B． 延长射线AB
C． 过点A作AB∥CD∥EF D． 作∠AOB的平分线OC
考点： 作图—尺规作图的定义．
分析： 根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论．
解答： 解：A、应为：延长线段AB到C，BC=AB，故本选项错误；
B、射线本身是无限延伸的，不能延长，故本选项错误；
C、过点A作只能作CD或EF的平行线，CD不一定平行于EF，故本选项错误；
D、作∠AOB的平分线OC，正确．
故选D．
点评： 此题主要考查图形中延长线、平行线、角平分线的画法，是基本题型，特别是A选项，应该是作出的等于原来的，顺序不能颠倒．
3．下列语句（ ）正确．
A． 射线比直线短一半
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B． 延长AB到C
C． 两点间的线叫做线段
D． 经过三点A，B，C不一定能画出直线来
考点： 作图—尺规作图的定义．
专题： 推理填空题．
分析： 根据直线、射线、线段有关知识，对每个选项注意判断得出正确选项．
解答： 解：A、直线和射线都没有长短，所以射线比直线短一半错误，故本选项错误；
B、延长AB到C，正确的说法是延长线段AB到C，故本选项错误；
C、两点间的线叫做线段，不符合线段的定义，故本选项错误；
D、若三点A，B，C在一条直线上，则经过三点A，B，C能画出直线来；若三点A，B，C不在一条直线上，则经过三点A，B，C不能画出直线来．所以说经过三点A，B，C不一定能画出直线来，故
本选项正确．
故选：D．
点评： 此题考查的知识点是作图﹣﹣尺规作图的定义，熟练掌握概念是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC=60°
③点D在AB的垂直平分线上
④AB=2AC．
A． 1 B．2 C．3 D． 4
考点： 作图—基本作图．
分析： 根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确．根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得④正确．
解答： 解：①AD是∠BAC的平分线，说法正确；
②∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，
因此∠ADC=60°正确；
③∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③说法正确，
④∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，
故选：D．
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点评： 此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．
5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A． SSS B．SAS C．ASA D． AAS
考点： 作图—基本作图；全等三角形的判定．
分析： 根据作图过程可知O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．
解答： 解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，
在△OCD与△O′C′D′中，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB．
故选：A．
点评： 本题考查基本作图“作一个角等于已知角”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等．从作法中找已知，根据已知条件选择判定方法．
6．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2x，y+1），则y关于x的函数关系为（ ）
A． y=x B．y=﹣2x﹣1 C．y=2x﹣1 D． y=1﹣2x
考点： 作图—基本作图；坐标与图形性质．
分析： 根据角平分线的性质以及第二象限点的坐标特点，进而得出答案．
解答： 解：由题意可得出：P点在第二象限的角平分线上，
∵点P的坐标为（2x，y+1），
∴2x=﹣（y+1），
∴y=﹣2x﹣1．
故选：B．
点评： 此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键．
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7．如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点P、M，连接PA、PB、MA、MB，则下列结论一定正确的是（ ）
A． PA=MA B．MA=PE C．PE=BE D． PA=PB
考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
分析： 根据作图的过程可知PD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可得到问题的选项．
解答： 解：由题意可知：PD是线段AB的垂直平分线，
所以PA=PB，
故选D．
点评： 本题考查了基本作图﹣作已知线段的垂直平分线以及考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离线段．
8．如图，已知∠AOB，按照以下步骤画图：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C．
（3）作射线OC．
则判断△OMC≌△ONC的依据是（ ）
A． SAS B．SSS C．ASA D． AAS
考点： 作图—基本作图；全等三角形的判定．
分析： 根据角平分线的作图方法解答．
解答： 解：根据角平分线的作法可知，OM=ON，CM=CN，
又∵OC是公共边，
∴△OMC≌△ONC的根据是“SSS”．
故选：B．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键．
9．如图，七年级（下）教材第4页给出了利用三角尺和直尺画平行线的一种方法，能说明AB∥DE的条件是（ ）
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A． ∠CAB=∠FDE B．∠ACB=∠DFE C．∠ABC=∠DEF D． ∠BCD=∠EFG
考点： 作图—基本作图；平行线的判定．
分析： 根据同位角相等，两直线平行可得，∠CAB=∠FDE可以说明AB∥DE．
解答： 解：利用三角尺和直尺画平行线，实际就是画∠CAB=∠FDE，
故答案为：A．
点评： 此题主要考查了画平行线的方法，关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行．
二．填空题（共6小题）
10．∠AOB如图所示，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）． 参见解答
考点： 作图—基本作图．
分析： ∵只要在OB上取C，以O为圆心，OC为半径画圆，交OA于点D，连接CD，再分别以大于CD为半径，C，D，为圆心画圆，两圆相交于P，D，连接OP，则OP即为∠AOB的平分线．
解答： 解：作法如下：
（1）在OB上取C，以O为圆心，OC为半径画圆，交OA于点D，连接CD；
（2）再分别以大于CD为半径，C，D，为圆心画圆，两圆相交于P，D，连接OP，则OP即为∠AOB的平分线．
点评： 本题考查了运用三角形全等的判定与性质，结合圆的性质作等角的方法，需同学们熟练掌握．
11．如图，点A是直线l外一点，在l上取点B、C．按下列步骤作图：分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D．则四点A、B、C、D可组成的图形是 平行四边形或梯形 ．
考点： 作图—复杂作图．
分析： 根据题意画出图形，可得两弧有两个交点，连接可得答案．
解答： 解：如图所示：
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，
四点A、B、C、D可组成的图形是平行四边形或梯形．
故答案为：平行四边形或梯形．
点评： 此题主要考查了复杂作图，关键是根据题意画出图形，找到D点位置．
12．如图，是格点（横、纵坐标都为整数的点）三角形，请在图中画出与全等的一个格点三角形．
考点： 作图—复杂作图．
专题： 作图题．
分析： 本题答案不唯一，最简单的方法就是从点B所以在的纵坐标找一点，作BC的平行线，且长度相等，然后再作AB的平行线且长度相等，最后连接，构成三角形．
解答： 解：
点评： 本题主要考查了利用网格画图的能力．
13．在如图所示的方格纸上过点P画直线AB的平行线．
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考点： 作图—基本作图．
专题： 网格型．
分析： 由题意可知应根据小正方形的格数及勾股定理作图，只要在直线找点A，B，D，P使其连接起来构成平行四边形即可．
解答： 解：作图如下：
（1）连接PA，假设图中每个小方格的边长为1，则AP==，
AB==；
（2）找点D，使得AP=BD，AP∥BD，连接DP，即可．
点评： 本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的运用，利用图中每个小格的边长相等作图．
14．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 4 个．
考点： 作图—复杂作图．
分析： 能画4个，分别是：
以D为圆心，AB为半径画圆；以E为圆心，AC为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．
以D为圆心，AC为半径画圆；以E为圆心，AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．
因此最多能画出4个
解答： 解：如图，可以作出这样的三角形4个．
18
点评： 本题考查了学生利用基本作图来做三角形的能力．
15．如图，网格中有△ABC和点D，请你找出另外两点E、F，在图中画出△DEF，使△ABC≌△DEF，且顶点A、B、C分别与D、E、F对应．
考点： 作图—复杂作图；全等三角形的性质；勾股定理．
分析： 若是三边对应相等的两个三角形互为全等三角形，根据此可画出图．
解答： 解：从图上可看出两个三角形的三条边对应相等．
所以△DEF即为所求．
点评： 本题考查全等三角形的性质，三边对应相等，以及在表格中如何画出全等的三角形．
三．解答题（共6小题）
16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）
（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 108 度和 36 度；
（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；
（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有 2n 个等腰三角形，其中有 n 个黄金等腰三角形．
考点： 作图—应用与设计作图；黄金分割．
专题： 作图题；探究型．
分析： （1）利用等腰三角形的性质以及∠A的度数，进而得出这2个等腰三角形的顶角度数；
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（2）利用（1）种思路进而得出符合题意的图形；
（3）利用当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形，进而得出规律求出答案．
解答： 解：（1）如图1所示：∵AB=AC，∠A=36°，
∴当AE=BE，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，
则∠EBC=36°，
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；
故答案为：108，36；
（2）如图2所示：
（3）如图3所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；
当2条直线可得到4个等腰三角形；
当3条直线可得到6个等腰三角形；
…
∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．
故答案为：2n，n．
点评： 此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形的规律是解题关键．
17．如图，Rt△ABC的直角边BC=8，AC=6
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线l，垂足为D，（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；
（2）连结D、C两点，求CD的长度．
考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： （1）根据垂直平分线的作法得出答案即可；
（2）根据垂直平分线的性质以及直角三角形的性质得出AB进而得出CD即可．
解答： 解；（1）如图． 直线DE即为所求作的图形．
（2）连接CD，∵DE是AB的垂直平分线，∠C=90°，
∴AD=BD=CD，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴CD是Rt△ABC斜边上的中线等于斜边的一半，
∴CD=5．
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点评： 此题主要考查了垂直平分线的作法以及直角三角形的性质，根据Rt△ABC斜边上的中线等于斜边的一半得出是解题关键．
18．如图①，将一张直角三角形纸片△ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．
（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）若一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？
考点： 作图—应用与设计作图．
专题： 新定义；开放型．
分析： （1）应先在三角形的格点中找一个矩形，折叠即可；
（2）根据正方形的边长应等于底边及底边上高的一半可得所求三角形的底边与高相等；
（3）由（2）可得相应结论．
解答： 解：（1）
；
（2）
；
（3）由（2）可得，若一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，
18
那么三角形的一边长与该边上的高相等的直角三角形或锐角三角形．
点评： 解决本题的关键是得到相应矩形的边长等于所给三角形的底边与底边上的高的一半的关系．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AE∥BC．
（1）作∠ADC的平分线DF，与AE交于点F；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AD=2，求DF的长．
考点： 作图—基本作图；等腰三角形的性质；勾股定理．
分析： （1）利用角平分线的作法得出DF即可；
（2）首先得出∠DAF=90°，即可得出∠ADF=45°，进而利用勾股定理求出即可．
解答： 解：（1）如图所示，DF就是所求作；
（2）∵AD⊥BC，AE∥BC，
∴∠DAF=90°，
又∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=45°，
∴AD=AF，．
点评： 此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的做法是解题关键．
20．如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC=6，OA=10．
（1）在BC边上求作一点E，使OE=OA；（保留作图痕迹，不写画法）
（2）求出点E的坐标．
考点： 作图—复杂作图；坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质．
分析： （1）利用EO=AO，以O为圆心AO为半径画弧得出E即可；
（2）首先过点E作EF⊥OA，垂足为F，得出B点坐标，进而求出FO的长，即可得出E点坐标．
解答： 解：（1）如图所示：E点即为所求；
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（2）过点E作EF⊥OA，垂足为F．
∵矩形OABC中OC=6，OA=10，
∴B点坐标为（10，6）．
∴EF=6．
又∵OE=OA，
∴OF==8．
∴点E的坐标为（8，6）．
点评： 此题主要考查了基本作图以及勾股定理和矩形的性质，得出B点坐标是解题关键．
21．（如图，在△ABC中，BC=AC，且CD∥AB，设△ABC的外心为O．
（1）用尺规作出△ABC的外接圆O．（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）中，连接OC，并证明OC是AB的中垂线；
（3）直线CD与⊙O有何位置关系，试证明你的结论．
考点： 作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；直线与圆的位置关系．
分析： （1）首先作出三角形两边的中垂线进而得出圆心求出△ABC的外接圆O；
（2）利用等腰三角形的性质得出答案即可；
（3）利用切线的判定方法求出∠OCG=90°，进而得出答案．
解答： 解：（1）如图所示：
（2）方法一：
连接BO、CO、OA，
∵OB=OA，AC=BC，
∴OC是AB的中垂线；
方法二：
在⊙O中，∵AC=BC，
∴=，
∴∠BOC=∠AOC，
∵OB=OA，
∴OC是AB的中垂线；
（3）直线CD与⊙O相切，
证明：∵CD∥AB，CO是AB的垂线，
∴∠OCG=90°，
∴直线CD与⊙O相切．
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点评： 此题主要考查了切线的判定与性质以及三角形外接圆的作法等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
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