图形的变化——图形的相似1
一．选择题（共9小题）
1．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣ C． D．5
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：
4．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（ ）
A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．CD•AB=AC•BD
5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
6．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
24
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（ ）
A．1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣6
9．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（ ）
A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
二．填空题（共7小题）
10 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b= _________ ．
11．如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是 _________ ．
24
12．若，则= _________ ．
13．已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是 _________ ．
14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 _________ ．
15．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形： _________ ．
16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= _________ ．
三．解答题（共8小题）
17．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？
24
18．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．
19．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
20．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP•AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．
22．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
24
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．
（1）求证：AP=AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．
24
图形的变化——图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）
A． ﹣5 B．﹣ C． D． 5
考点： 比例的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．
解答： 解：∵x：y=1：3，
∴设x=k，y=3k，
∵2y=3z，
∴z=2k，
∴==﹣5．
故选：A．
点评： 本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 平行线分线段成比例．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．
解答： 解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，
∴==2，==2，
∴=，
故选：A．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
3．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）
A． 1：25 B．1：5 C．1：2.5 D． 1：
24
考点： 相似多边形的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．
解答： 解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，
∴它们的相似比为1：．
故选：D．
点评： 本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．
4．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（ ）
A． ∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D． CD•AB=AC•BD
考点： 相似三角形的判定；圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
解答： 解：如图，∠ADC=∠ADB，
A、∵∠ACD=∠DAB，
∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；
B、∵AD=DE，
∴=，
∴∠DAE=∠B，
∴△ADC∽△BDA，故B选项正确；
C、∵AD2=BD•CD，
∴AD：BD=CD：AD，
∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；
D、∵CD•AB=AC•BD，
∴CD：AC=BD：AB，
但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误．
故选：D．
点评： 此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A． P1 B．P2 C．P3 D． P4
24
考点： 相似三角形的判定．
专题： 网格型．
分析： 由于∠BAC=∠PED=90°，而=，则当=时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD，然后利用DE=4，所以EP=6，则易得点P落在P3处．
解答： 解：∵∠BAC=∠PED，
而=，
∴=时，△ABC∽△EPD，
∵DE=4，
∴EP=6，
∴点P落在P3处．
故选：C．
点评： 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
6．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
A． 1 B．2 C．3 D． 4
考点： 相似三角形的判定；坐标与图形性质．
分析： 根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．
解答： 解：如图①，∠OAB=∠BAC1，∠AOB=∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．
如图②，AO∥BC，BA⊥AC2，则∠ABC2=∠OAB，故△AOB∽△BAC2；
如图③，AC3∥OB，∠ABC3=90°，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△C3BA；
24
如图④，∠AOB=∠BAC4=90°，∠ABO=∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．
故选D．
点评： 本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 相似三角形的判定；直角梯形．
分析： 由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
解答： 解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个，
故选：C．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．
24
8．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（ ）
A． 1 B．2 C．12﹣6 D． 6﹣6
考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 首先过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．
解答： 解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，
∵AB=AC，AD=AG，
∴AD：AB=AG：AC，
∵∠BAC=∠DAG，
∴△ADG∽△ABC，
∴∠ADG=∠B，
∴DG∥BC，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG，
∴FH⊥BC，AN⊥DG，
∵AB=AC=18，BC=12，
∴BM=BC=6，
∴AM==12，
∴，
∴，
∴AN=6，
∴MN=AM﹣AN=6，
∴FH=MN﹣GF=6﹣6．
故选：D．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
24
9．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（ ）
A． 1：4 B．2：3 C．1：3 D． 1：2
考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．
解答： 解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴=，△DOE∽△COB，
∴=（）2=（）2=，
故选：A．
点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
二．填空题（共7小题）
10．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b= 2 ．
考点： 比例线段．
分析： 根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b．
解答： 解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2=ac，
即b2=4，
∴b=±2（负数舍去）．
故答案是：2．
点评： 本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．
11．如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是 36 ．
24
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比．再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC：DM=6：1，即S△ABC：S△FDM=36：1，从而得到△ABC面积．
解答： 解：过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，
过M作AC的平行线交AB、BC于F、H，
过M作AB的平行线交AC、BC于I、G，
因为△1、△2、△3的面积比为1：4：9，
所以他们对应边边长的比为1：2：3，
又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，
所以DM=BG，EM=CH，
设DM为x，则ME=2x，GH=3x，
所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，
所以BC：DM=6x：x=6：1，
由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，
所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．
故答案为：36．
点评： 本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质及相似三角形的性质．熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．
12．若，则= ．
考点： 比例的性质．
分析： 先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
解答： 解：∵=，
∴a=，
∴=．
故答案为：．
点评： 本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键，也是本题的难点．
13．已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是 12 ．
考点： 相似三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据相似的性质得=，即=，然后利用比例的性质计算即可．
解答： 解：∵△ABC∽△DEF，
∴=，即=，
∴△DEF的周长=12．
故答案为：12．
点评： 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
24
14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 y=2x ．
考点： 相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 数形结合．
分析： 设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
解答： 解：设OC=a，
∵点D在y=上，
∴CD=，
∵△OCD∽△ACO，
∴=，
∴AC==，
∴点A（a，），
∵点B是OA的中点，
∴点B的坐标为（，），
∵点B在反比例函数图象上，
∴=，
∴=2k2，
∴a4=4k2，
解得，a2=2k，
∴点B的坐标为（，a），
设直线OA的解析式为y=mx，
则m•=a，
解得m=2，
所以，直线OA的解析式为y=2x．
故答案为：y=2x．
24
点评： 本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．
15．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形： △ABP∽△AED（答案不唯一） ．
考点： 相似三角形的判定；平行四边形的性质．
专题： 开放型．
分析： 可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED．
解答： 解：∵BP∥DF，
∴△ABP∽△AED．
故答案为：△ABP∽△AED（答案不唯一）．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵S△ADE=S四边形BCDE，
∴，
∴，
故答案为：．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
三．解答题（共8小题）
17．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
24
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？
考点： 相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形．
专题： 压轴题；动点型．
分析： （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．
（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10﹣2t）•=8﹣t，再利用三角形面积解得t即可．
解答： 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由题意，得，
解得，
所以，直线AB的解析式为y=﹣x+6；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10﹣2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以=，
解得t=（秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以=，
解得t=（秒）；
∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；
（3）过点Q作QE垂直AO于点E．
在Rt△AOB中，sin∠BAO==，
在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10﹣2t）•=8﹣t，
S△APQ=AP•QE=t•（8﹣t），
24
=﹣t2+4t=，
解得t=2（秒）或t=3（秒）．
∴当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为个平方单位
点评： 此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．
18．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．
考点： 相似形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；锐角三角函数的定义．
专题： 综合题．
分析： （1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该函数的定义域；
（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正切值；
（3）可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论：①当EB=EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x﹣y=5﹣x，即y=2x﹣5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB=CE时，可得到PC=EC﹣EP=BC﹣MP=5﹣y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，AD=BC=5，∠A=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∵∠ABE=∠CBP，
∴∠ABM=∠APB．
又∵∠A=∠A，
∴△ABM∽△APB，
∴=，
∴=，
∴y=x﹣．
∵P是边AD上的一动点，
∴0≤x≤5．
24
∵y＞0，
∴x﹣＞0，
∴x＞2，
∴函数的定义域为2＜x≤5；
（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．
∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，
∴MP=3，AM=1，
∴BM==，BP==2．
∵S△BMP=MP•AB=BP•MH，
∴MH==，
∴BH==，
∴tan∠EBP==；
（3）①若EB=EC，
则有∠EBC=∠ECB．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠EBC，∠DPC=∠ECB，
∴∠AMB=∠DPC．
在△AMB和△DPC中，
，
∴△AMB≌△DPC，
∴AM=DP，
∴x﹣y=5﹣x，
∴y=2x﹣5，
∴x﹣=2x﹣5，
解得：x1=1，x2=4．
∵2＜x≤5，
∴AP=x=4；
②若CE=CB，
则∠EBC=∠E．
∵AD∥BC，
∴∠EMP=∠EBC=∠E，
∴PE=PM=y，
∴PC=EC﹣EP=5﹣y，
∴在Rt△DPC中，
（5﹣y）2﹣（5﹣x）2=22，
∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）=4，
24
∴（10﹣x﹣x+）（x﹣x+）=4，
整理得：3x2﹣10x﹣4=0，
解得：x3=，x4=（舍负）．
∴AP=x=．
终上所述：AP的值为4或．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．
19．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
考点： 相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP=AB=1，然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．
解答： （1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=AB=1，
24
AP==，AE=AG=，
∴EP=2，
∴EB===，
∴GD=．
点评： 本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．
20．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP•AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题： 证明题；压轴题；动点型．
分析： （1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．
（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；
解答： （1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．
②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，
24
∴，即，所以AP•AF=12
（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．
①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=6，
∴OA=，
点P的路径是．
②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．
所以，点P经过的路径长为或3．
点评： 本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．
21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）由平行线的性质可得：∠A=∠FCE，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明：△ADE≌△CFE；
（2）由AB∥FC，可证明△GBD∽△GCF，根据给出的已知数据可求出CF的长，即AD的长，进而可求出AB的长．
解答： （1）证明：∵AB∥FC，
∴∠A=∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）；
24
（2）解：∵AB∥FC，
∴△GBD∽△GCF，
∴GB：GC=BD：CF，
∵GB=2，BC=4，BD=1，
∴2：6=1：CF，
∴CF=3，
∵AD=CF，
∴AB=AD+BD=4．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的性质，题目的设计很好，难度一般．
22．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析： （1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；
（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．
解答： 解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠QPE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠QPE，
∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90°，
在△ADP和△QPE中，
，
∴△ADP≌△QPE（AAS），
∴PQ=AD=1；
（2）∵△PFD∽△BFP，
∴，
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，
∴△DAP∽△PBF，
∴，
24
∴=，
∴PA=PB，
∴PA=AB=
∴当PA=时，△PFD∽△BFP．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．
考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；
（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．
解答： 解：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴=，
∵M为AD中点，
∴MD=AD=BC，即=，
∴=，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，
∴x+1=2（x﹣1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=DN：BN=1：2，
24
∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．
∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6
∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．
（1）求证：AP=AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，从而得证；
（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．
解答： （1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°
∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠CBO=∠ABP，
∴∠BOC=∠APB，
∵∠BOC=∠AOP，
∴∠AOP=∠APB，
∴AP=AO；
（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO=∠ABP，
∴CO=DO，
∵AE=OC，
∴AE=OD，
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，
∴∠AOD=∠PAE，
在△AOD和△PAE中，
，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP=∠ADO=90°
∴PE⊥AO；
24
（3）解：设AE=OC=3k，
∵AE=AC，∴AC=8k，
∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，
∴OA=OE+AE=5k．
由（1）可知，AP=AO=5k．
如图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．
在Rt△AOD中，AD===4k．
∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．
∵OD∥AP，
∴，即
解得k=1，
∵AB=10，PE=AD，
∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k=6，OD=3
在Rt△BDO中，由勾股定理得：
BO===3．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键．
24
微信/支付宝扫码支付