图形的变化——图形的相似2
一．选择题（共9小题）
1．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（ ）
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
4．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（ ）
A． B． C．6 D．
5．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于（ ）
21
A．5 B．6 C．7 D．4
7．如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1
8．（易错题）如图，▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF
9．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是（ ）
A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C． D．
二．填空题（共6小题）
10．已知实数x、y满足，则= _________ ．
11．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为 _________ m．
12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE=2：3，BF=10，那么线段DF的长为 _________ ．
13．如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与矩形相似，那么留下的矩形的面积为 _________ cm2．
21
14．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= _________ cm2．
15．两个相似三角形对应边的比为2：3，则它们的周长比为 _________ ．
三．解答题（共9小题）
16．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
17．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 _________ ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 _________ ；
（3）△A2B2C2的面积是 _________ 平方单位．
18．如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
21
19．如图，在平行四边形ABCD中，点G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，如果AB=m，CG=BC，
求：（1）DF的长度；
（2）三角形ABE与三角形FDE的面积之比．
20．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D在AC上，AD=2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求∠EBC的正切值．
21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：
（1）的值；
（2）线段GH的长．
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
21
23．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．
24．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
21
图形的变化——图形的相似2
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（ ）
A． 4个 B．3个 C．2个 D． 1个
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④．
解答： 证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正确；
②延长BG交DE于点H，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正确；
③∵四边形GCEF是正方形，
∴GF∥CE，
∴=，
21
∴=是错误的．
故③错误；
④∵DC∥EF，
∴∠GDO=∠OEF，
∵∠GOD=∠FOE，
∴△OGD∽△OFE，
∴=（）2=（）2=，
∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．
故④正确；
故选：B．
点评： 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．
2．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A． 3 B．6 C．9 D． 12
考点： 位似变换．
分析： 利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．
解答： 解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，
则△A′B′C′的面积是：12．
故选：D．
点评： 此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（ ）
A． 4.5 B．8 C 10.5 D． 14
考点： 平行线分线段成比例．
21
分析： 利用相似三角形的判定与性质得出=，求出EC即可．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴==，
解得：EC=8．
故选：B．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（ ）
A． B． C．6 D．
考点： 平行线分线段成比例．
分析： 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．
解答： 解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴=，
∵AB=2，BC=3，DE=1，
∴=，
∴EF=，
故选B．
点评： 本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的对应线段成比例．
5．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的性质．
分析： 根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求．
解答： 解：根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′，且相似比为：：1，
∴△A′B′C′的第三边长应该是=．
故选：A．
点评： 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．
21
6．如图，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于（ ）
A． 5 B．6 C 7 D． 4
考点： 相似三角形的性质．
分析： 根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算即可得解．
解答： 解：∵△ABC∽△CBD，
∴=，
即=，
解得AB=6．
故选B．
点评： 本题考查了相似三角形的性质，准确识图确定出对应边是解题的关键．
7．如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是（ ）
A． 1：2 B．1：4 C．1： D． 2：1
考点： 相似三角形的性质．
分析： 由两个相似三角形的面积比是1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比．
解答： 解：∵两个相似三角形的面积比是1：2，
∴这两个相似三角形的相似比是1：，
∴它们的周长比是1：．
故选C．
点评： 此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形周长的比等于相似比性质的应用．
8．（易错题）如图，▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A． △ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D． △ACD∽△GCF
考点： 相似三角形的判定；平行四边形的性质．
专题： 常规题型．
分析： 本题中可利用平行四边形ABCD中两对边平行的特殊条件来进行求解．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠EDG=∠EAB
∵∠E=∠E
∴△ABE∽△DGE（第一个正确）
∵AE∥BC
21
∴∠EDC=∠BCG，∠E=∠CBG
∴△CGB∽△DGE（第二个正确）
∵AE∥BC
∴∠E=∠FBC，∠EAF=∠BCF
∴△BCF∽△EAF（第三个正确）
第四个无法证得，故选D
点评： 考查相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
9．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是（ ）
A． ∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C． D．
考点： 相似三角形的判定．
分析： 根据相似三角形的判定方法：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．
解答： 解：A、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；
B、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；
C、=，此时不等确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故本选项正确；
D、=，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误．
故选C．
点评： 此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
二．填空题（共6小题）
10．已知实数x、y满足，则= 2 ．
考点： 比例的性质．
分析： 先用y表示出x，然后代入比例式进行计算即可得解．
解答： 姐：∵=，
∴x=y，
∴==2．
故答案为：2．
21
点评： 本题考查了比例的性质，根据两內项之积等于两外项之积用y表示出x是解题的关键．
11．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为 9 m．
考点： 相似三角形的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解答： 解：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴=，
即=，
解得AB=9．
故答案为：9．
点评： 本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．
12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE=2：3，BF=10，那么线段DF的长为 6 ．
考点： 平行线分线段成比例．
分析： 根据平行线分线段成比例定理，得出==，再根据DF=BF×代入计算即可．
解答： 解：∵AB∥CD∥EF，
∴==，
∵BF=10，
∴DF=10×=6；
故答案为；6．
点评： 本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．
13．如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与矩形相似，那么留下的矩形的面积为 8 cm2．
21
考点： 相似多边形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 本题需先设留下的矩形的宽为x，再根据留下的矩形与矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形的面积．
解答： 解：设留下的矩形的宽为x，
∵留下的矩形与矩形相似，
∴，
x=2，
∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）
故答案为：8．
点评： 本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．
14．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= cm2．
考点： 相似三角形的性质．
分析： 根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．
解答： 解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4
∴S△ABC：S△DEF=9：16
∴S△DEF=．
点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
15．两个相似三角形对应边的比为2：3，则它们的周长比为 2：3 ．
考点： 相似三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．
解答： 解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们对应周长的比为2：3．
故答案为：2：3．
点评： 本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
三．解答题（共9小题）
16．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
考点： 相似三角形的应用．
专题： 几何综合题．
21
分析： （1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；
（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．
解答： （1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴=，即=，
解得：CF=169．
即：CF的长度是169cm．
点评： 本题考查了相似三角形的应用．此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所求线段CF与已知线段间的数量关系的．
17．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 （2，﹣2） ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 （1，0） ；
（3）△A2B2C2的面积是 10 平方单位．
考点： 作图-位似变换；作图-平移变换．
专题： 作图题．
分析： （1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
解答： 解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，
21
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．
故答案为：10．
点评： 此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．
18．如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
考点： 相似形综合题．
专题： 动点型．
分析： （1）运用=和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．
（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．
（3）根据S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE以及S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE可得到S△AEF与S四边形AEOF关于t的表达式，进而可求出t的值．
解答： 解：（1）∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴==，==
∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．
21
（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
∴．
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EFO．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EFO+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．
（3）如图，连接AF，
∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4﹣1.5t
∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，
S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，
S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6，
∴S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE=4t+6﹣t2﹣（6﹣t）=﹣t2+t，
S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE=4t+6﹣（6﹣t）=t，
∵S△AEF=S四边形AEOF
∴﹣t2+t=×t，（0＜t＜）
解得t=或t=0（舍去）．
∴当t=时，S△AEF=S四边形AEOF．
点评： 本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△AEF=S四边形AEOF求t的值．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，如果AB=m，CG=BC，
求：（1）DF的长度；
21
（2）三角形ABE与三角形FDE的面积之比．
考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）先根据平行四边形的性质和已知关系，得出CG和BG之间的关系，即CG=BG，和，即可得出．
（2）根据平行线的性质，由AB∥CD，课得出△ABE∽△FDE，再根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即，即得△ABE与△FDE的面积之比为9：4．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=m，AB∥CD．
∵CG=BC，
∴CG=BG，
∵AB∥CD，
∴．
∴，
∴；
（2）∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FDE，
∴．
∴△ABE与△FDE的面积之比为9：4．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的性质，属于中等题目，要求学生能够熟练掌握此类题目．
20．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D在AC上，AD=2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求∠EBC的正切值．
21
考点： 平行线分线段成比例；等边三角形的性质；解直角三角形．
分析： （1）首先证明CE∥AB，则△ABD∽△CED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，在直角△CEH中，利用三角函数求得CH和EH的长度，即可求得BH的大小，即可求得三角函数值．
解答： 解：（1）在BC延长线上取一点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，∠ACF=120°，
∵CM是∠ACB的外角平分线，
∴∠ECF=∠ACF=60°，
∴∠ECF=∠ABC，
∴CE∥AB，
∴=，
又∵AD=2CD，AB=6，
∴=，
∴CE=3．
（2）过点E作EH⊥BC于点H．
∵∠ECF=60°，∠EHC=90°，CE=3，
∴CH=3，EH=，
又∵BC=6，
∴BH=BC+CH=，
∵∠EHB=90°，
∴tan∠EBC==．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数值的求法，求三角函数值的问题常用的方法是转化为求直角三角形的边的问题．
21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：
（1）的值；
21
（2）线段GH的长．
考点： 平行线分线段成比例；平行四边形的性质．
分析： （1）根据EF∥BD，则=，再利用平行四边形的性质即可得出的值；
（2）利用DF∥AB，则==，进而得出==，求出GH即可．
解答： 解：（1）∵EF∥BD，
∴=，
∵BD=12，EF=8，
∴=，
∴=，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，
∴=；
（2）∵DF∥AB，
∴==，
∴=，
∵EF∥BD，
∴==，
∴=，
∴GH=6．
点评： 此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出GH的长是解题关键．
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
21
考点： 相似三角形的性质；平行四边形的判定．
专题： 综合题．
分析： （1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF=∠GAF，从而得：AF=FG=BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；
（2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF=FG=BE，即可得BE的长．
解答： （1）证明：∵FG∥AB，
∴∠BAD=∠AGF．
∵∠BAD=∠GAF，
∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．
∵BE=AF，∴FG=BE，
又∵FG∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）
（2）解：△ABG∽△AGF，
∴，
即，
∴AF=3.6，
∵BE=AF，
∴BE=3.6． （8分）
点评： 解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．
23．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；菱形的性质．
专题： 证明题；探究型．
分析： （1）根据已知利用SAS来判定两三角形全等．
（2）根据每一问的结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；
（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．
解答： 解：（1）△APD≌△CPD．
21
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．
又∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD．
证明：（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，
又∵∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
猜想：（3）PC2=PE•PF．
理由：∵△APE∽△FPA，
∴．
∴PA2=PE•PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC2=PE•PF．
点评： 本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．
24．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．
专题： 几何综合题．
分析： （1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，利用中位线的定理证得到平行即可；
（2）根据上题证得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的△ABD的面积．
解答： （1）证明：∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，
∴F为AD的中点，
∵点E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
21
∴EF∥BC；
（2）解：∵EF为△ABD的中位线，
∴，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴S△AEF：S△ABD=1：4，
∴S△AEF：S四边形BDFE=1：3，
∵四边形BDFE的面积为6，
∴S△AEF=2，
∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8．
点评： 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ABD=1：4．
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