图形的变化——锐角三角函数1
一．选择题（共9小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（ ）
A．2 B．1 C． D．
16
7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
9在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
二．填空题（共8小题）
10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是 _________ ．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 _________ ．
12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= _________ ．
13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC= _________ ．
14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= _________ ．
15．cos60°= _________ ．
16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= _________ ．
16
17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C= _________ ．
三．解答题（共7小题）
18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）
21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．
22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．
16
23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．
①求BD和AD的长；
②求tan∠C的值．
24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．
（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）
16
图形的变化——锐角三角函数1
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
A． B． C． D．
考点： 锐角三角函数的定义．
分析： tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．
解答： 解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∴
∵AE：EB=4：1，
∴=5，
∴=，
设AB=2x，则BC=x，AC=x．
∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．
则tan∠CFB==．
故选：C．
点评： 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．
专题： 网格型．
分析： 作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．
16
解答： 解：作AC⊥OB于点C．
则AC=，
AO===2，
则sin∠AOB===．
故选：D．
点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（ ）
A． 2 B．8 C．2 D． 4
考点： 锐角三角函数的定义．
专题： 计算题．
分析： 根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．
解答： 解：∵tanA==，AC=4，
∴BC=2，
故选：A．
点评： 本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．
4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（ ）
A． B． C． D．
考点： 锐角三角函数的定义．
专题： 网格型．
分析： 在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．
16
解答： 解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，
∴tanA==．
故选：D．
点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 互余两角三角函数的关系．
专题： 计算题．
分析： 根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．
解答： 解：∵sinA=，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC==12x，
故tan∠B==．
故选：D．
点评： 本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．
6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（ ）
A． 2 B．1 C． D．
考点： 特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 根据特殊角的三角函数值计算即可．
解答： 解：原式=（）2+×
=+
=2．
故选：A．
点评： 此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（ ）
16
A． 45° B．60° C．75° D． 105°
考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．
专题： 计算题．
分析： 根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
解答： 解：由题意，得 cosA=，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．
故选：C．
点评： 此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．
8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A． 1，2，3 B．1，1， C．1，1， D． 1，2，
考点： 解直角三角形．
专题： 新定义．
分析： A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
解答： 解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
点评： 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．
9．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
A． 3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D． 3tan50°
考点： 解直角三角形．
分析： 利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．
解答： 解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，
又∵tanB=，
∴AC=BC•tanB=3tan50°．
故选：D．
点评： 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
二．填空题（共8小题）
10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是 ．
16
考点： 锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．
专题： 计算题．
分析： 首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．
解答： 解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=4，
∴AB=2CD=8，
则sinB===．
故答案为：．
点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 ．
考点： 锐角三角函数的定义．
分析： 根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．
解答： 解：tanA==，
故答案为：．
点评： 本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．
12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= ．
考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．
专题： 网格型．
分析： 根据勾股定理，可得AC的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．
16
解答： 解：如图，
由勾股定理得AC=2，AD=4，
cosA=，
故答案为：．
点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边．
13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC= ．
考点： 锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．
解答： 解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，
∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE=，
∴tan∠BPC=tan∠BAE=．
故答案为：．
16
点评： 求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．
考点： 锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．
分析： 根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．
解答： 解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，
可以得知△ABC是等腰三角形，
由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，
即CE==，
sinA===，
故答案为：．
点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
15．cos60°= ．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 根据特殊角的三角函数值计算．
解答： 解：cos60°=．
故答案为：
点评： 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．
16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= 60° ．
16
考点： 特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．
专题： 计算题．
分析： 先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
解答： 解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，
∴∠A=∠B=60°．
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．
故答案为：60°．
点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C= 75° ．
考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
专题： 计算题．
分析： 先根据△ABC中，tanA=1，cosB=，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
解答： 解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0
∴tanA=1，cosB=
∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=75°．
故答案为：75°．
点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
三．解答题（共7小题）
18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
专题： 应用题；压轴题．
分析： （1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．
（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．
解答： 解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：
由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，
在Rt△ABD中，
∵AB=30海里，∠BAC=30°，
16
∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，
在Rt△BCD中，
∵BD=15海里，∠BCD=45°，
∴CD=15海里，BC=15海里，
∴AC=AD+CD=15+15海里，
即A、C间的距离为（15+15）海里．
（2）∵AC=15+15（海里），
轮船乙从A到C的时间为=+1，
由B到C的时间为+1﹣1=，
∵BC=15海里，
∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，解答此题的关键是过B作BD⊥AC，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答．
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
考点： 解直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．
解答： 解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，
∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，
∴AC===13，
∴sinC==．
点评： 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
16
20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）
考点： 解直角三角形．
专题： 几何图形问题．
分析： 由题意得到三角形BCD为等腰直角三角形，得到BD=BC，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．
解答： 解：∵∠B=90°，∠BDC=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD=BC，
在Rt△ABC中，tan∠A=tan30°=，即=，
解得：BC=2（+1）．
点评： 此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．
考点： 解直角三角形；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA==，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=8，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB==，cosB==，由此求出sinB+cosB=．
解答： 解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴tanA===，
∴AD=4，
∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，
∴BC==10，
∴sinB==，cosB==，
∴sinB+cosB=+=．
16
故答案为：
点评： 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，难度适中．
22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．
考点： 解直角三角形；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解
解答： 解：在Rt△ABD中，∵，
又∵AD=1，
∴AB=3，
∵BD2=AB2﹣AD2，
∴．
在Rt△ADC中，∵∠C=45°，
∴CD=AD=1．
∴BC=BD+DC=+1．
点评： 本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．
①求BD和AD的长；
②求tan∠C的值．
考点： 解直角三角形；勾股定理．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）由BD⊥AC得到∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；
16
（2）先计算出CD=2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．
解答： 解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，
∴BD=AB=3，
∴AD=BD=3；
（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，
在Rt△BCD中，tan∠C===．
点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．
（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．
解答： 解：设梯子的长为xm．
在Rt△ABO中，cos∠ABO=，
∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．
在Rt△CDO中，cos∠CDO=，
∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．
∵BD=OD﹣OB，
∴0.625x﹣x=1，
解得x=8．
故梯子的长是8米．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
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