2015届中考数学总复习 二十九 锐角三角函数精练精析2 华东师大版.doc

图形的变化——锐角三角函数2‎ 一．选择题（共8小题）‎ ‎1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=‎4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（　　）‎ A．‎4km B．‎2km C．‎2km D．（+1）km ‎2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（　　）‎ A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里 ‎3．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在△ABC中，若AC：BC：AB=5：12：13，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ 19‎ ‎6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，若AB=1，则线段BD的长是（　　）‎ A．sin‎2A B．cos‎2A C．tan‎2A D．cot‎2A ‎7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上中线，若CD=5，AC=8，则sinA为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（　　）‎ A． B． C． D．2‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎9．如图，从一般船的点A处观测海岸上高为‎41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为　_________　m（精确到‎1m）．‎ ‎（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）‎ ‎10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=‎7米，则树高BC为　_________　 米（用含α的代数式表示）．‎ ‎11．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为‎5m，则大树的高度为　_________　m（结果保留根号）‎ 19‎ ‎12．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于　_________　海里．‎ ‎13．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=　_________　．‎ ‎14．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB=　_________　．‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎15．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．‎ ‎（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于‎47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为　_________　m；‎ ‎（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=‎40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．‎ ‎16．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到‎0.1cm）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）‎ 19‎ ‎17．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为‎30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．‎ ‎（1）计算AB的长度．‎ ‎（2）通过计算判断此车是否超速．‎ ‎18．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．‎ ‎（1）求改直的公路AB的长；‎ ‎（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）‎ ‎19．如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=‎25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到‎0.01米）‎ ‎（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）‎ ‎20．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽‎6米，坝高‎20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到‎0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．‎ 19‎ ‎21．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是‎6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～‎5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？‎ ‎（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）‎ ‎22．如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα=，然后又沿着坡度为i=1：4的斜坡向上走了‎1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？‎ ‎23．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆‎6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为‎1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．‎ 19‎ 图形的变化——锐角三角函数2‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题）‎ ‎1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=‎4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（　　）‎ A． ‎4km B．‎2km C．‎2km D． （+1）km 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．‎ 解答： 解：如图，过点A作AD⊥OB于D．‎ 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，‎ ‎∴AD=OA=2．‎ 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，‎ ‎∴BD=AD=2，‎ ‎∴AB=AD=2．‎ 即该船航行的距离（即AB的长）为‎2km．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（　　）‎ 19‎ A． 40海里 B．40海里 C．80海里 D． 40海里 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．‎ 解答： 解：过点P作PC⊥AB于点C，‎ 由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，‎ 故CP=AP=40（海里），‎ 则PB==40（海里）．‎ 故选：A．‎ 点评： 此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．‎ ‎3．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．‎ 专题： 网格型．‎ 分析： 先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．‎ 解答： 解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，‎ ‎∴AC===2，‎ ‎∴cosC===．‎ 19‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．‎ ‎4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 锐角三角函数的定义．‎ 分析： 利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可．‎ 解答： 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，‎ ‎∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，‎ ‎∴∠B=∠ACD，‎ ‎∴sinB===，‎ 故不能表示sinB的是．‎ 故选：B．‎ 点评： 此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．‎ ‎5．在△ABC中，若AC：BC：AB=5：12：13，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．‎ 分析： 先根据三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可．‎ 解答： 解：∵△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13，即52+122=132，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．‎ sinA==．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，属较简单题目．‎ ‎6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，若AB=1，则线段BD的长是（　　）‎ A． sin‎2A B．cos‎2A C．tan‎2A D． cot‎2A 19‎ 考点： 锐角三角函数的定义．‎ 分析： 求出∠=∠BCD，解直角三角形求出BC、求出BD即可得出答案．‎ 解答： 解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=1，‎ ‎∴BC=AB•sinA=sinA，‎ ‎∵CD为边AB上的高，‎ ‎∴∠CDB=90°，‎ ‎∴∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°，‎ ‎∴∠A=∠BCD，‎ ‎∴BD=BC•sin∠DCB=1×sinA×sinA=sin‎2A，‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了锐角三角形函数的定义，三角形内角和定理的应用，关键是求出BC的长和BD的长．‎ ‎7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上中线，若CD=5，AC=8，则sinA为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．‎ 分析： 根据斜边中线等于斜边一半得出AB，利用勾股定理求出BC，继而可计算sinA的值．‎ 解答： 解：∵CD是AB上中线，‎ ‎∴AB=2CD=10，‎ BC==6，‎ ‎∴sinA==．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握直角三角形的斜边中线等于斜边一半．‎ ‎8．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（　　）‎ A． B． C． D． 2‎ 考点： 互余两角三角函数的关系．‎ 分析： 由cosA=，知道∠A=60°，得到∠B的度数即可求得答案．‎ 解答： 解：∵，∠C=90°，cosA=，‎ ‎∴∠A=60°，得∠B=30°，所以tanB=tan30°=．‎ 故答案选：C．‎ 点评： 本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是正确识记30°角的正切值．‎ 二．填空题（共6小题）‎ 19‎ ‎9．如图，从一般船的点A处观测海岸上高为‎41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为　‎59　‎m（精确到‎1m）．‎ ‎（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 根据灯塔顶部B的仰角为35°，BC=‎41m，可得tan∠BAC=，代入数据即可求出观测点A到灯塔BC的距离AC的长度．‎ 解答： 解：在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠BAC=35°，BC=‎41m，‎ ‎∴tan∠BAC=，‎ ‎∴AC==≈59（m）．‎ 故答案为：59．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．‎ ‎10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=‎7米，则树高BC为　7tanα　 米（用含α的代数式表示）．‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=‎7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．‎ 解答： 解：∵BC⊥AC，AC=‎7米，∠BAC=α，‎ ‎∴=tanα，‎ ‎∴BC=AC•tanα=7tanα（米）．‎ 故答案为：7tanα．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．‎ ‎11．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为‎5m，则大树的高度为　（5+5）　m（结果保留根号）‎ 19‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．‎ 解答： 解：作CE⊥AB于点E，‎ 在Rt△BCE中，‎ BE=CD=‎5m，‎ CE==‎5‎m，‎ 在Rt△ACE中，‎ AE=CE•tan45°=‎5‎m，‎ AB=BE+AE=（5+5）m．‎ 故答案为：（5+5）．‎ 点评： 本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎12．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于　10　海里．‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．‎ 分析： 根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可．‎ 解答： 解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，‎ ‎∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，‎ ‎∴∠CAD=30°=∠ACB，‎ ‎∴AB=BC=20海里，‎ 19‎ 在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，‎ ‎∴sin60°=，‎ ‎∴CD=12×sin60°=20×=10海里，‎ 故答案为：10．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．‎ ‎13．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=　　．‎ 考点： 锐角三角函数的定义．‎ 分析： 根据三角函数的定义解答．‎ 解答： 解：观察图形可知，tan∠BAC==．‎ 点评： 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．‎ ‎14．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB=　　．‎ 考点： 锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．‎ 分析： 过A作AD⊥BC于D，求出BD，根据勾股定理求出AD，解直角三角形求出即可．‎ 解答： 解：‎ 过A作AD⊥BC于D，‎ ‎∵AB=AC=5，BC=8，‎ ‎∴∠ADB=90°，BD=BC=4，‎ 由勾股定理得：AD==3，‎ ‎∴sinB==，‎ 19‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎15．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．‎ ‎（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于‎47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为　‎23.5　‎m；‎ ‎（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=‎40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．‎ 考点： 解直角三角形的应用．‎ 专题： 应用题．‎ 分析： （1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；‎ ‎（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=‎40m，可得关于x的方程，解出即可．‎ 解答： 解：（I）∵点C是AB的中点，‎ ‎∴A'C'=AB=‎23.5m．‎ ‎（II）设PQ=x，‎ 在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==1.4，‎ ‎∴MQ=，‎ 在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==3.3，‎ ‎∴NQ=，‎ ‎∵MN=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，‎ 解得：x≈97．‎ 答：解放桥的全长约为‎97m．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，难度一般．‎ ‎16．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到‎0.1cm）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）‎ 19‎ 考点： 解直角三角形的应用．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 根据题意得出AP，BP的长，再利用三角形面积求法得出NP的长，进而得出容器中牛奶的高度．‎ 解答： 解：过点P作PN⊥AB于点N，‎ ‎∵由题意可得：∠ABP=30°，AB=‎8cm，‎ ‎∴AP=‎4cm，BP=AB•cos30°=‎4cm，‎ ‎∴NP×AB=AP×BP，‎ ‎∴NP===2（cm），‎ ‎∴9﹣2≈5.5（cm），‎ 答：容器中牛奶的高度约为：‎5.5cm．‎ 点评： 此题主要考查了解直角三角形以及三角形面积求法等知识，得出PN的长是解题关键．‎ ‎17．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为‎30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．‎ ‎（1）计算AB的长度．‎ ‎（2）通过计算判断此车是否超速．‎ 考点： 解直角三角形的应用．‎ 专题： 应用题．‎ 分析： （1）已知MN=‎30m，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；‎ ‎（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时≈‎16.66米/秒，比较即可确定答案．‎ 解答： 解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，‎ ‎∴AN=MN•tan∠AMN=30．‎ 19‎ 在Rt△BMN中，‎ ‎∵∠BMN=45°，‎ ‎∴BN=MN=30．‎ ‎∴AB=AN+BN=（30+30）米；‎ ‎（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，‎ ‎∴此车的速度为：（30+30）÷6=5+5≈13.66，‎ ‎∵60千米/时≈‎16.66米/秒，‎ ‎∴13.66＜16.66‎ ‎∴不会超速．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．‎ ‎18．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．‎ ‎（1）求改直的公路AB的长；‎ ‎（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）‎ 考点： 解直角三角形的应用．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： （1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；‎ ‎（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．‎ 解答： 解：（1）作CH⊥AB于H．‎ 在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2（千米），‎ AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1（千米），‎ 在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），‎ ‎∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．‎ 故改直的公路AB的长14.7千米；‎ ‎（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），‎ 则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）．‎ 答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．‎ 点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．‎ ‎19．如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=‎25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到‎0.01米）‎ ‎（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）‎ 19‎ 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DC﹣BE即可求解．‎ 解答： 解：过A点作AE⊥CD于E．‎ 在Rt△ABE中，∠ABE=62°．‎ ‎∴AE=AB•sin62°=25×0.88=‎22米，‎ BE=AB•cos62°=25×0.47=‎11.75米，‎ 在Rt△ADE中，∠ADB=50°，‎ ‎∴DE==‎18‎米，‎ ‎∴DB=DE﹣BE≈‎6.58米．‎ 故此时应将坝底向外拓宽大约‎6.58米．‎ 点评： 考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．‎ ‎20．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽‎6米，坝高‎20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到‎0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．‎ 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．‎ 解答： 解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，‎ 19‎ 由题意得，BC=EF=‎6米，BE=CF=‎20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，‎ 在Rt△ABE中，=，‎ ‎∴AE=‎50米．‎ 在Rt△CFD中，∠D=30°，‎ ‎∴DF=CFcot∠D=‎20‎米，‎ ‎∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．‎ 故坝底AD的长度约为‎90.6米．‎ 点评： 本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．‎ ‎21．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是‎6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～‎5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？‎ ‎（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）‎ 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 在直角三角形中利用20°角和AB的长求得线段AC的长后看是否在5.3﹣5.7范围内即可．‎ 解答： 解：由题意得：Rt△ACB中，AB=‎6米，∠A=20°，‎ ‎∴AC=AB•cos∠A≈6×0.94=5.64，‎ ‎∴在5.3～‎5.7米范围内，‎ 故符合要求．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是弄清题意，并整理出直角三角形．‎ ‎22．如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα=，然后又沿着坡度为i=1：4的斜坡向上走了‎1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？‎ 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系分别求出BF，CE的长，即可得出点C相对于起点A升高的高度．‎ 解答： 解：如图所示：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CD⊥AD于点D，‎ 由题意得：AB=0.65千米，BC=‎1千米，‎ 19‎ ‎∴sinα===，‎ ‎∴BF=0.65×=0.25（km），‎ ‎∵斜坡BC的坡度为：1：4，‎ ‎∴CE：BE=1：4，‎ 设CE=x，则BE=4x，‎ 由勾股定理得：x2+（4x）2=12‎ 解得：x=，‎ ‎∴CD=CE+DE=BF+CE=+，‎ 答：点C相对于起点A升高了（+）km．‎ 点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数得出BF，CE的长是解题关键．‎ ‎23．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆‎6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为‎1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 专题： 计算题；几何图形问题．‎ 分析： 由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．‎ 解答： 解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，‎ 由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，‎ ‎∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，‎ 在Rt△ACH中，tan∠CAH=，‎ ‎∴CH=AH•tan∠CAH，‎ ‎∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），‎ ‎∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，‎ 在Rt△CDE中，‎ ‎∵∠CED=60°，sin∠CED=，‎ 19‎ ‎∴CE==（4+）（米），‎ 答：拉线CE的长为（4+）米．‎ 点评： 命题立意：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ 19‎