山东省青岛市2015年中考数学真题试题（含解析）.doc

青岛市2015年中考数学真题（含解析）‎ ‎（考试时间：120分钟；满分：120分）‎ 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！‎ ‎ 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有24道题．第Ⅰ卷1—8题为选择题，共24分；‎ ‎ 第Ⅱ卷9—14题为填空题，15题为作图题，16—24题为解答题，共96分．‎ ‎ 要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．‎ 第（Ⅰ）卷 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． ‎ ‎1.的相反数是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】A 考点：相反数的定义.‎ ‎2.某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001s，把0.000 000 001s用科学计数法可以表示为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：科学计数法是指：a×，且1≤＜10，小数点向右移动几位，则n的相反数就是几.‎ 考点：科学计数法 ‎3.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 16‎ 试题分析：在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，这样的图形叫做中心对称图形.根据定义可以判定B既是轴对称图形，也是中心对称图形.‎ 考点：轴对称图形与中心对称图形.‎ ‎4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（ ）．‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎【答案】C 考点：角平分线的性质和中垂线的性质.‎ ‎5.小刚参加射击比赛，成绩统计如下表 成绩（环）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 次数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎ 关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）．‎ A．极差是2环 B．中位数是8环 C．众数是9环 D．平均数是9环 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据表格可得极差为10－6=4环；中位数为8环；众数为7环和9环；平均数为(6+21+16+27+10)÷10=8环.‎ 考点：平均数、极差、众数和中位数的计算.‎ ‎6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）‎ A．30° B．35° C．45° D．60°‎ 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：连接OA，根据直线PA为切线可得∠OAP=90°，根据正六边形的性质可得∠OAB=60°，则∠PAB=∠OAP－∠OAB=90°－60°=30°.‎ 考点：切线的性质 ‎7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（ ）．‎ ‎ A．4 B．4 C．4 D．28 ‎ ‎【答案】C 考点：菱形的性质、三角形中位线性质、勾股定理.‎ ‎8.如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，的取值范围是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据函数的交点可得点B的横坐标为－2，根据图象可得当一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x＞2或－2＜x＜0.‎ 考点：反比例函数与一次函数.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9.计算：‎ ‎【答案】‎ 考点：同底数幂的计算.‎ ‎10.如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，那么点A的对应点A＇的坐标是＿＿＿＿＿＿＿．‎ ‎【答案】(2，3)‎ ‎【解析】‎ 16‎ 试题分析：根据图示可得点A的坐标为(6,3)，则变换后点A′的坐标为(6×，3)，即(2,3).‎ 考点：点的坐标变换.‎ ‎11.把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S（）与高之间的函数关系是为_________________________‎ ‎【答案】S=‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意可得长方体的体积与圆柱体的体积相等，则圆柱体的体积=长方体的体积=3×2×1=6立方厘米，即Sh=6，则S=.‎ 考点：反比例函数的应用 ‎12.如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1,1）、（-1,1），‎ 把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分形成的正八边形的边长为_____________________．‎ ‎【答案】2－2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示：根据题意可得A′D′，=AB=2，A′0=OD′=‎ 16‎ ‎，OM=1，根据△FMD′∽△A′OD′，则，即，则FD′=2－，则A′E=FD′=2－‎ ‎∴EF=2－(2－)－(2－)=2－2，即正八边形的边长为2－2.‎ 考点：相似三角形的应用 ‎13.如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ．‎ ‎【答案】40°‎ 考点：圆内接四边形的性质.‎ ‎14.如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小正方体，王亮所搭几何体表面积为________________.‎ ‎【答案】19；48.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：大长方体每层9个小正方体，总共4层，则总共需要36个正方形，则36－17=19个，表面积为46.‎ 16‎ 考点：几何体的组成 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ ‎15.已知：线段，直线外一点A．‎ 求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥，垂足为C）斜边AB＝c．‎ ‎【答案】略.‎ 考点：作图.‎ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16.（本小题满分8分，每题4分）‎ ‎（1）化简：；　　　‎ ‎（2）关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围 ‎【答案】；m＞－‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先将括号里面的分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分计算；根据一元二次方程根的判别式可得：当方程有两个不相等的实数根，则△=－4ac＞0，从而得出m的不等式，然后进行求解.‎ 试题解析：（1）原式=‎ 16‎ ‎（2）由题知，解得， 答：的取值范围是 考点：分式的化简、一元二次方程根的判别式.‎ ‎17.（本小题满分6分）‎ 某小学为了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：‎ ‎（1）补全条形统计图；‎ ‎（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；‎ ‎（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？‎ ‎【答案】略；27°；1800‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据A的人数和百分比求出总人数，然后根据总人数和B的百分比计算B的人数，补全图形；根据扇形D的人数和总人数的比值求出D所占的百分比，从而得出圆心角度数；根据A、B、C的总的百分比得出人数.‎ 试题解析：（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎（3）‎ 考点：条形统计图、扇形统计图.‎ ‎18.（本小题满分6分）‎ 小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字。若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜。这个游戏对双方公平吗？请说明理由。‎ ‎【答案】不公平；理由略 16‎ 考点：概率的计算 ‎19.（本小题满分6分）‎ 小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m。请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据：， ，‎ ‎【答案】233m ‎【解析】‎ 试题分析：作AD⊥CB延长线于点D，根据Rt△ACD中∠ABD的正切值得出CD=AD；根据Rt△ABD中∠ABD的正切值得出BD=AD，根据BC=CD－DB=100求出AD的长度.‎ 16‎ 试题解析：如图，作AD⊥CB延长线于点D 由题知：∠ACD=35°、∠ABD=45° 在Rt△ACD中，∠ACD=35° 所以 在Rt△ABD中，∠ABD=45° 所以 由题 所以 解得m ‎ 答：热气球到地面的距离约为233米 考点：三角函数的应用.‎ ‎20.（本小题满分8分）‎ 某厂制作甲、乙两种环保包装盒。已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料。‎ （1） 求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？‎ （2） 如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料。‎ ‎【答案】甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料；l=0.1n+1500,1700.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料，根据乙的数量－甲的数量=2列出分式方程进行求解；根据题意得出n的取值范围，然后根据l与n的关系列出函数解析式，根据一次函数的增减性求出最小值.‎ 试题解析：(1)、设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料 由题可得： 解得（米）‎ 经检验是原方程的解，所以 答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料 16‎ ‎(2)、由题 ∴‎ ‎ ‎ ‎∵，∴，∴当时，‎ 考点：分式方程的应用，一次函数的性质.‎ ‎21.（本小题满分8分）‎ 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△CAE；‎ ‎（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．‎ ‎【答案】略；AB∥DE且AB=DE.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据AB=AC得出∠B=∠ACB，根据AD为中线得出AD⊥BC，根据AE∥BC得出∠EAC=∠ACB，则∠B=∠EAC，根据CE⊥AE得出∠CEA=∠ADB=90°，结合AB=AC得出三角形全等；根据全等得出AE=BD，然后根据AE∥BD得出四边形ABDE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出答案.‎ 试题解析：（1）证明：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB 又∵AD是BC边上的中线 ∴AD⊥BC，即∠ADB=90°‎ ‎∵AE∥BC ∴∠EAC=∠ACB ∴∠B=∠EAC ∵CE⊥AE ∴∠CEA=90° ∴∠CEA=∠ADB 又AB=AC ∴△ABD≌△CAE（AAS）‎ （2） AB∥DE且AB=DE。 ‎ 由（1）△ABD≌△CAE可得AE=BD， 又AE∥BD，所以四边形ABDE是平行四边形 ‎∴AB∥DE且AB=DE 考点：三角形全等、平行四边形的性质和判定.‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。 ‎ 16‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；‎ ‎（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？‎ ‎（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？‎ ‎【答案】，拱顶D到地面OA的距离为10米；可以通过；4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值.‎ ‎ ‎ ‎(2)、由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））‎ 当时，，所以可以通过 16‎ ‎(3)、令，即，可得，解得 ‎ 答：两排灯的水平距离最小是 考点：二次函数的实际应用.‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？‎ 问题探究：不妨假设能搭成种不同的等腰三角形，为探究之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．‎ 探究一：‎ （1） 用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？‎ ‎ 此时，显然能搭成一种等腰三角形。所以，当时，‎ （2） 用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？‎ ‎ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形 ‎ 所以，当时，‎ （3） 用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？‎ ‎ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形 ‎ 若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 ‎ 所以，当时，‎ （4） 用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？‎ ‎ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形 ‎ 若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形 ‎ 所以，当时，‎ 综上所述，可得表①‎ ‎ ‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 探究二：‎ （1） 用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？‎ ‎ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）‎ （2） 分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？‎ ‎ （只需把结果填在表②中）‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 16‎ 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，……‎ 解决问题：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？‎ ‎ （设分别等于、、、，其中是整数，把结果填在表③中）‎ 问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？‎ ‎ （要求写出解答过程）‎ 其中面积最大的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒。（只填结果）‎ ‎【答案】n=7，m=2；503个；672.‎ ‎ （1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形 ‎ 若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形 ‎ 若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 ‎ 所以，当时，‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎ ‎ 问题应用：∵2016=4×504 所以k=504，则可以搭成k-1=503个不同的等腰三角形； 672‎ 考点：等腰三角形的性质.‎ ‎24.（本小题满分12分） ‎ 已知：如图①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向匀速平移得到 ‎△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t(s)（0＜t＜4）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥MN？‎ ‎（2）设△QMC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；‎ 16‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；‎ ‎ 若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】t=；y=－；1:4；t=‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据勾股定理求出AC的长度，根据平移的性质得出PQ∥AB，然后得出相似比，求出t的值；作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E，根据△ABC的面积求出AE的长度，根据勾股定理求出CE的长度，根据PD⊥BC，AE⊥BC得出△CPD∽△CAE，从而得到PD、CD的长度，根据题意得出h=PD，然后求出y与t的函数关系式；根据PM∥BC，得到若S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4，则S△QMC∶S△ABC＝1∶5，然后根据函数解析式求出t的值；得出答案；根据题意得出△MQP∽△PDQ，即，根据CD求出DQ的长度，然后得出一元二次方程求出t的值.‎ 试题解析：(1)、在Rt△ABC中，由勾股定理得： 由平移性质可得MN∥AB 因为PQ∥MN，所以PQ∥AB，所以，即，解得 ‎(2)、作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E由可得 则由勾股定理易求 因为PD⊥BC，AE⊥BC 所以AE∥PD，所以△CPD∽△CAE 所以，即 求得：，‎ 因为PM∥BC，所以M到BC的距离 所以，△QCM是面积 16‎ ‎ ‎ ‎(4)、若，则∠MDQ=∠PDQ=90° 因为MP∥BC，所以∠MPQ=∠PQD，‎ 所以△MQP∽△PDQ，所以，所以 即：，由，所以DQ = CD-CQ 故，整理得 解得 答：当时，。‎ 考点：二次函数的综合应用、三角形相似的应用、勾股定理、一元二次方程.‎ 16‎