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黄冈市2016届高三数学4月适应性试题(文附答案)

时间:2016-04-27 14:30:36作者:佚名试题来源:网络
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2016高三4月文科数学调考试

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 , ,则集合 中元素的个数为   (    )
A.   B.
C.   D.
2.已知 为虚数单位,复数 满足 ,则 (    )
A.             B.              C.             D.
3.从数字 、 、 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数不大于 的概       率为(    )
A.               B.                C.                D.
4.在平面直角坐标系 中,已知四边形 是平行四边形, , ,   则 (    )
    A.               B.                C.              D.
5.将函数 的图像上各点的横坐标伸长为原来的 倍,再向右平移 个单位,
   所得函数图像的一个对称中心为(    )
A.         B.            C.            D.
6.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人  
所得与下三人等.问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,
甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数
列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为(    )
A. 钱            B. 钱             C. 钱              D. 钱
7.已知抛 物线 上一点 到其焦点的距离为 ,双曲线 的左顶点为 ,若双曲线的一条渐近线与直线 垂直,则实数 的值为(    )
A.              B.                C.               D. 
8.设函数 的图象与 ( 为常数)的图象关于直线 对称,且 ,则 (    )
A.               B.                C.              D.
9.在程序框图中,输入 ,按程序运行后输出的结果是(    )
A.              B.              C.              D.
10.设 , 满足不等式组 ,若 的最大值为 ,最小值为 ,则实数 的取值范围为(   )
A.            B.
C.           D.
11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )
    A.        B.
C.          D.
12.已知 为常数,函数 在 内有两个极值点,则实数 的取值范围是(   )
A.          B.           C.           D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.设函数 ,若 ,则实数           
14.已知数列 的前 项和 ,正项等比数列 中, ,     ,则           
15.已知半径为 的圆 是半径为 的球 的一个截面,若球面上任一点到圆面 的距离
    的最大值为 ,则球 的表面积为          
16.如图,椭圆  的左右焦点分别为 , ,过 的直线交椭圆于 , 两点,且 ,若 ,则椭圆的离心率           

 

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在△ 中,角 所对的边分别为 ,函数 , ,在 处取到最大值.
(Ⅰ)求角 的大小;
(Ⅱ)若 , ,求△ 的面积.


18.(本小题满分12分)2015年下半年,“豆芽花”发卡突然在全国流行起来,各地随处可见头上遍插“小草”的人群,其形象如右图所示:
对这种头上长“草”的呆萌造型,大家褒贬不一.为了了解人们是否喜欢这种造型,随机从人群中选取 人进行调查,每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分.按规定,如果被调查者的打分超过 分,那么被调查者属于喜欢这种造型的人;否则,属于不喜欢这种造型的人.将收集的分数分成 [0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100] 五组,并作出如下频率分布直方图:

 

 

 

 

    (Ⅰ)根据频率分布直方图,计算被调查者中不喜欢这种造型的人数,并估计打分的平
均值;
(Ⅱ)为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关,根据 位被调查者的
情况制作的关联表如下表,请在表格空白处填写正确数字,并说明是否有 以上的
把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关?
 喜欢头上长“草”的造型 不喜欢头上长“草”的造型 合计
喜欢动画片 
 
不喜欢动画片  

合计   

 
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
附:临界值表参考公式: , .


19.(本小题满分12分)如图,四边形 是菱形, 平面 , , , ,点 为 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求点 到平面 的距离.

 

 

 

 

20.(本小题满分12分)如图,在直角坐标系 中,圆 与 轴负半轴交于点 ,过点 的直线 , 分别与圆 交于 , 两点.
(Ⅰ)若 , ,求 的面积;
(Ⅱ)若直线 过点 ,证明: 为定值,并求此定值.

 

 

 


21.(本小题满分12分)已知函数 .
   (Ⅰ)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
   (Ⅱ)当 时,证明: .

请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图, 是圆 的直径, 是弦, 的平分线 交圆 于点 , ,交 的延长线于点 , 交 于点 .
(Ⅰ)求证: 是圆 的切线;
(Ⅱ)若 ,求 的值.

 

 

 

 

 


23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知直线 的参数方程为 ( 为参数, ),以坐标原点 为极点, 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
   (Ⅰ)求直线 与曲线 的直角坐标方程;
   (Ⅱ)在曲线 上求一点 ,使它到直线 的距离最短.

24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数 .
(Ⅰ)若不等式 有解,求实数 的取值范围;
(Ⅱ)若 ,且 ,证明: .
  

 

 

 

 

 

 

 


 
2016年高三适应性考试调考试卷
数学答案(文科)
一、 BBDBD  DBACA  CC
二、 13.     14.    15.     16.
17.解析 :(Ⅰ)
                          
                                 ........... .... 3分
        又 ,则有 ,                           ................5分                          
        所以当 ,即 时,函数 取到最大值,
        所以 ;                                                .... ............ 6分

(Ⅱ)由余弦定理知: ,
     即   ,解得: , ,        ................ 9分

     所以 .                        ................12分

18.解析:(Ⅰ)由频率分布直方图可得,不喜欢这种造型的被调查者共有
     人,                             ................ 3分
    打分的平均值为:
     ;
                                                                   ................ 6分
(Ⅱ)如表:
 喜欢头上长“草”的造型 不喜欢头上长“草”的造型 合计
喜欢动画片 30  9 39
不喜欢动画片 5 6 11
合计 35 15 50
              
 ,               ….......... 9分
所以有 以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关.
                      ....…… 12分

19.解析:(Ⅰ)连接 ,取 的中点 ,连 接 .
         因为点 为 的中点,所以 且 ,
         又 且 ,
         所以 且 ,所以四边形 为平行四边形,        
         所以 ,.... .................................... ............................1分
        因为四边形 是菱形, ,所以△ 为等边三角形,
        因为 为 的中点,所以 ,即有 ,            ....…… 3分
         又 平面 , 平面 ,所以 ,即有 ,.....5分
        又 , 平面 ,
        所以 平面 ;                                          ............6分
(Ⅱ)因为 , ,
      所以 ,                           ...............7分
      , ...............9分
      又 , ,
     所以 ,
     设点 到平面 的距离为 ,则 ,          ..............11分
     又 ,所以 , .                       ...............12分
20.解析:(Ⅰ)由题知 ,所以 , 为圆 的直径,
     的方程为 ,直线 的方程为 ,
所以圆心到直线 的距离 ,                                ...............2分
    所以 ,由中位线定理知, ,           ...............4分
    ;                                         ...............5分
(Ⅱ)设 、 ,
    ①当直线 斜率存在时,设直线 的方程为  ,代入圆的方程中有:
     ,整理得: ,
    则有 , ,                            ..... ..........8分    
 [来源:学*科*网]
     ;     ...............10分
    ②当直线 斜率不存在时,直线 的方程为 ,
代入圆的方程可得: , , ;....11分
 综合①②可得: 为定值,此定值为 .                    ...............12分
21.解析:(Ⅰ)当 , 时, ,
    所以 .所以 , ,              ...............2分
    所以曲线 在点 处的切线方程为 ,
     即 .                                              ..... ..........4分
(Ⅱ)证法一:当 , 时, .
    要证明 ,只需证明
    以下给出三种思路证明 .
    思路1:设 ,则 .
    设 ,则 ,
    所以函数  在 上单调递增.
    因为 , ,
    所以函数 在 上有唯一零点 ,且
    因为 ,所以 ,即
    当 时, ;当 时, .
    所以当 时, 取得最小值 .
    故 .
    综上可知,当 时, .                                 ...............12分
思路2:先证明  .设 ,则 .
    因为当 时, , 当 时, ,
    所以当 时,函数 单调递减,当 时,函数 单调递增.
    所以 .
    所以 (当且仅当 时取等号).
    所以要证明 ,
    只需证明 ,即证明 .
    下面证明 .
    设 ,则 .
    当 时, ,当 时, ,
    所以当 时,函数 单调递减,当 时,函数 单调递增.
    所以 .
    所以 (当且仅当 时取等号).
    由于取等号的条件不同,所以 .
    综上可知,当 时,  .
思路3:先证明 .
     因为曲线 与曲线 的图像关于直线 对称,
设直线  与曲线 , 分别交于点 , ,点  
 , 到直线 的距离分别为 , ,
    则 .
    其中 ,  .
    ①设  ,则 .
    因为 ,所以 .
    所以 在 上单调递增,则 .
    所以 .
    ②设  ,则 .
    因为当 时, ;当 时, ,
    所以当 时, 单调递减;当 时, 单调递增.
    所以 .所以 .
    所以 .
    综上可知,当 时, .
22.解析:(Ⅰ)连接 ,可得 ,   
    ∴                                                        ..............3分
     又 ,∴ ,又 为半径,∴ 是圆 的切线;     ..............5分[来源:Z*xx*k.Com]
(Ⅱ)过 作 于点 ,连接 ,则有 ,
                                   ...............7分
    设 ,则 ,∴                        ...............8分
    由 可得 ,又由 ,
    可得 .                                             ...............10分
23.解析:(Ⅰ)由 , ,可得 ,            ...............1分
    所以曲线 的普通方程为 (或 ),         ...............3分
因为直线 的参数方程为 ( 为参数, ),
消去 得直线 的普通方程为 ;                         ...............5分
(Ⅱ)因为曲线  是以  为圆心,1为半径的圆,
因为点 在曲线 上,所以可设点   ,      ...............7分
所以点 到直线 的距离为  ,    ...............8分
因为 ,所以当 时, ,                           .... ...........9分
此时 点的坐标为 .                                     ...............10分[来源:Zxxk.Com]
24.解析:(Ⅰ)因为 ,[来源:学。科。网]
    当且仅当 时等号成立,
所以 ,解得 ;                         ...............5分
(Ⅱ)证明:要证 ,即证 ,[来源:学&科&网Z&X&X&K]
只需证 ,
即证 ,[来源:Z#xx#k.Com]
又 , ,
所以 ,
所以 ,
        故原不等式成立.                                       ............ ...10分

 


 
1.答案:B
解析:集合 , 为奇数集,则 ,故选B.
2.答案:B
解析:因为 ,故选B.
3.答案:D
解析:从数字 、 、 中任取两个不同的数字构成一个两位数,有 共 种,则这个两位数不大于 的有 共 种,因此概率 ,故选D.
4.答案:B
解析:因为 , ,所以 ,故选B.
5.答案:D
解析:函数  的图像上各点的横坐标伸长为原来的 倍,解析式变为:[来源:Zxxk.Com]
 ,再向右平移 个单位,解析式变为 , 刚好是图像的一个对称中心,故选D.
6.答案:D
解析:设等差数列的首项为 ,公差为 ,因为 ,所以有
 ,解得: ,故选D.
7.答案:B
解析:因为 ,解得 ,所以 ,则 ,不妨设 ,
又 ,故 ,所以 ,解得 ,故选B.
8.答案:A
解析:由 可得点 在函数 的图象上,代入解析式解得 , ,又当 时,解得  ,则点 在函数 的图像上,点 在函数 的图象上, ,故选A.
9.答案:C
解析:由于程序中根据 的取值,产生的 值也不同,故可将程序中的 值从小到大,每四个分为一组,即 , .∵当 为偶数时, ;当 为偶数,即 时, ;否则,即 时, .
故可知:每组的4个数中,偶数值乘以 累加至 ,但两个奇数对应的 值相互抵消,即 ,故选C.
10.答案:A
解析:不等式组对应的平面区域是由三条直线 , 和 围成的三角形,三角形的三顶点坐标分别为 、 、 .由题意可 知 在点 或线段 上取最大值,在点 或线段 上取最小值,于是有 或 或 ,解得: ,故选A.
11.答案:C
解析:由题意可知几何体的形状是组合体.右侧是放倒的圆柱,底面半径为1,高为2;左侧是一个底面半径为1,高为1的半圆锥.几何体的表面积为: ,故选C.
12.答案:C
解析:由已知得 在 内有两个相异的实根,[来源:学科网ZXXK]
又 ,即有
 在 内有两个相异的实根,即函数 与 的图象有两个交点. , 在 上单调递减,在 上单调递增,又 时, ,且  , , 有 ,解得: ,故选C.
13.答案:
解析:(1)当 时,由 ,解得 ,符合题意;
(2)当 时,由 ,解得 ,不符合题意,故舍去;
  综上可得: .
14.答案:
解析:∵ ,
∴ ,又  ,∴ ,
∴数列 是以 为首项,以 为公比的等比数列, .
15.答案: 
解析:由已知及球的性质可知,球心 到截面 的距离为 ,∵ ,
 ,解得: ,∴ .
16.答案:
解析:由 , ,得: ,
由椭圆的定义 , ,知 ,于是
 ,解得 ,故 .由勾股定理得
 ,从而 ,化简得 ,故离心率 .


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