圆锥曲线
一、选择题
1、已知双曲线的一个焦点恰为抛物线的焦点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为
A、 B、 C、 D、
2、已知圆上存在两点关于直线对称，若离心率为的双曲线的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为
（A）1 （B） （C）2 （D）4
3、已知、分别是双曲线（，）的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点，使得，且满足，那么双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4、过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为
（A） （B） （C）2 （D）
5、若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、如果双曲线经过点，且它的一条渐近线方程为，那么该双曲线的方程式
（A） （B） （C） （D）
7、设双曲线上的点P到点的距离为6，则P点到的距离是（ ）
A．2或10 B.10 C.2 D.4或8
8、已知双曲线C：的两条渐近线互相垂直，则抛物线E：的焦点坐标是（ ）
A、（0,1） B、（0，－1） C、（0，） D、（0，－）
9、已知直线l过抛物线E：的焦点F且与x轴垂直，l与E所围成的封闭图形的面积为24，若点P为抛物线E上任意一点，A（4,1），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为
（A）6 （B）4＋2 （C）7 （D）4＋2
10、已知双曲线的左右焦点为，点 A 在其右半支上，
若＝0， 若，则该双曲线的离心率e 的取值范围为
A. (1, ) B.（1, ） C. （, ） D. （, ）
11、曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等 B． 离心率相等 C．焦点相同 D．顶点相同
12、点为双曲线上一点,为的虚轴顶点，，则的范围是( )
A． B．
C． D．
13、等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，｜AB｜＝，则C的实轴长为：C
A、 B、2 C、4 D、8
14、若双曲线的一条渐近线与圆＝1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是
A、（1,2） B、［2，＋） C、 D、B、［，＋）
选择题答案：
1、A 2、D 3、A 4、C 5、D
6、B 7、A 8、D 9、C 10、A
11、A 12、C 13、 14、A
二、解答题
1、已知椭圆右顶点与右焦点的距离为－1，短轴长为2。
（I）求椭圆的方程；
（II）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若△OAB（O为直角坐标原点）的面积为，求直线AB的方程。
2、在平面直角坐标系xoy中，F是椭圆的右焦点，已知点A（0，－2）与椭圆左顶点关于直线对称，且直线AF的斜率为。
（I）求椭圆的方程；
（II）过点Q（－1,0）的直线l交椭圆于M，N两点，交直线＝－4于点E，，证明：为定值。
3、已知椭圆：（）的一个顶点为，且焦距为，直线交椭圆于、两点（点、与点不重合），且满足．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，若点满足，求直线的斜率的取值范围．
4、在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上一点到点的距离的最大值为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．
5、已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，
点为椭圆上一点，的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由。
6、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴的长为2，离心率等于。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值。
7、已知椭圆离心率为，以原点为圆心，
以椭圆C的短半轴长为半径的圆O与直线： 相切。
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设不过原点O的直线与该椭圆交于P、Q两点，满足直线OP，
PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围。
8、如图，点分别在射线，上运动，且.
（1）求；
（2）求线段的中点的轨迹方程；
（3）判定中点到两射线的距离积是否是为定值，若是则找出该值并证明；若不是定值说明理由。
9、已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
（Ⅰ）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
（Ⅱ）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．
10、抛物线C 关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点，已知该抛物线与直线y ＝x －1相切，切点的横坐标为2.
(1)求抛物线C 的方程；
（2）过抛物线C 的焦点作直线L 交抛物线C 于，点 M 与点 P 关于 y 轴对称，求证：直线PN 恒过定点，并求出该定点的坐标.
11、已知椭圆， 它的一个焦点为 ，且经过点
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知圆 的方程是 ，过圆 上任一点 作椭圆 的两条切线与，求证．
12、已知椭圆：过点，且一个焦点为，直线与椭圆交于两不同点，为坐标原点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若的面积为，证明：和均为定值；
（3）在（2）的条件下，设线段的中点为，求的最大值.
解答题参考答案
1、解：（Ⅰ）由题意得 ……………………………………………….1分
解得，. ……………………………………………………3分
所以所求椭圆方程为………………………………………4分
（Ⅱ）方法一：
当直线与轴垂直时，，
此时不符合题意故舍掉；…………………………………..5分
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
由 消去得：………6分
设，则，………………….…..7分
∴
………………………………………….…………9分
原点到直线的距离，…………………………..…10分
∴三角形的面积．
由得，故．………………………………..11分
∴直线的方程为，或．
即，或…………………………….12分
方法二：
由题意知直线的斜率不为，可设其方程为．………….5分
由消去得．…………………….6分
设，则，．…….7分
∴．…………….….8分
又，所以．…………………….……..9分
∴．解得．………………..…….….11分
∴直线的方程为，或，
即：，或．………………………..12分
2、
3、【解析】(Ⅰ)依题意,,,则 …………………1分
解得,所以椭圆的标准方程为.…………………3分
(Ⅱ)当直线垂直于轴时,由消去整理得,
解得或,此时,直线的斜率为；………………5分.
当直线不垂直于轴时,设,直线:(),
由,消去整理得,………………6分
依题意,即(*),
且,,…………………7分
又,
所以,
所以,即,解得满足(*),………………8分
所以,故,…9分
故直线的斜率,………………10分
当时,,此时；
当时,,此时；
综上,直线的斜率的取值范围为.………………………………………12分
4、
5、解：（1） 得 ………………（1分）
在椭圆上， ① …………………（2分）
是椭圆的焦点 ② ………………………（3分）
由①②解得： …………………………………（4分）
椭圆的方程为 …………………………………………（5分）
（2）的斜率，设的方程为，……………（6分）
联立方程组整理得
△，解得………（7分）
设两点的坐标为，则………（8分）
以为直径的圆的方程为
该圆经过原点
解得…………………………………（11分）
经检验，所求的方程为 …………………………（12分）
（备注：若消去的变量为，按对应给分点给分即可）
6、解：（I）设椭圆C的方程为，
则由题意知-------------------------------------------------------2分
解得，--------------------------------------------------------------------4分
∴椭圆C的方程为 ---------------------------------------------------5分
（II）证法1：设A、B、M点的坐标分别为，
易知F点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分
显然直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线l的方程是，-----------7分
将直线的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得
------------------------------------------------9分
-------------------------------------------10分
又
-------12分
【证法二：设点A、B、M的坐标分别为
易知F点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分
∴
------------7分
将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得
--------------------------------------------------------9分
同理，由可得---------------------------------10分
0
5
5
10
2
0
2
=
-
+
+
y
l
l
即 是方程 的两个根，-------------------12分】
7、解：(1) 由直线： 与圆 相切得：
， ……………2分
由 得 ， ……………3分
又 ……………4分
椭圆C的方程为 ……………5分
(2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为
y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， …………6分
则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，
且x1＋x2＝，x1x2＝. ……………7分
故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以·＝＝k2， …………8分
即＋m2＝0， 又m≠0，所以k2＝，即k＝±. …………9分
由Δ>0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0
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