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“湖南省湘中名校教研教改联合体” 2017 届高三 12 月联考·数学(文) 参考答案、提示及评分细则 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D D B A A C B C B A 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.-1+3i 5 14. 3 2 15.[2+2 2,+∞) 16.[7 3,12 5] 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)f(x)=cosx(cosx+ 3sinx)=cos 2x+ 3sinxcosx=1+cos2x 2 + 3 2sin2x=1 2+sin(2x+ π 6). 当 sin(2x+ π 6)=-1 时,f(x)取最小值为 -1 2 . (6 分)…………………………………………… (2)f(C)=1 2+sin(2C+ π 6)=1,∴sin(2C+ π 6)=1 2, ∵C∈(0,π),2C+ π 6∈( π 6,13π 6 ),∴C= π 3 .S△ABC =1 2 absinC=3 3 4 ,∴ab=3, 由余弦定理得a2 +b2 -2abcos π 3=7, ∴(a+b)2 =16 即a+b=4,∴a+b+c=4+ 7,所以 △ABC 的周长为 4+ 7. (12 分)………… 18. 解:(1)由频率直方图得:最大需求量为 150 的频率 =0.015×20=0.3. 这个开学季内市场需求量的x 众数估计值是 150; 需求量为[100,120)的频率 =0.005×20=0.1, 需求量为[120,140)的频率 =0.01×20=0.2, 需求量为[140,160)的频率 =0.015×20=0.3, 需求量为[160,180)的频率 =0.0125×20=0.25, 需求量为[180,200)的频率 =0.0075×20=0.15. 则平均数x=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153. (5 分)……… (2)因为每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元, 所以当 100≤x≤160 时,y=50x-30×(160-x)=80x-4800, (7 分)………………………… 当 1601 时恒成立,即k< xlnx+3x-2x-1 . 令F(x)= xlnx+3x-2x-1 ,则F′(x)= x-lnx-2 (x-1)2 ,令 m(x)=x-lnx-2, 则 m′(x)=1-1x = x-1x >0 在x>1 时恒成立. 所以 m(x)在(1,+∞)上单调递增,且 m(3)=1-ln30, 所以在(1,+∞)上存在唯一实数x0(x0∈(3,4))使 m(x)=0. 当 1