4.数列、不等式
1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为( )
A．15 B．20 C．25 D．30
答案 A
2.各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.
答案 (1)512 (2)10
3. 数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．
答案
4. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列{an}的公比q＝________.
答案 1或－1
5. 已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)()n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是( )
A．第6项或第7项 B．第7项或第8项
C．第8项或第9项 D．第7项
答案 B
6. 在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为( )
A. B. C. D.
答案 D
7. 若关于x的不等式x2＋mx－4≥0在区间[1,4]上有解，则实数m的最小值是________．
答案 －3
8. 不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为________．
答案 [3，＋∞)
9. 已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
答案
10. 如果kx2＋2kx－(k＋2)0，
因为a3，a4＋，a11成等比数列，所以2＝a3a11，
所以2＝(1＋2d)(1＋10d)，即44d2－36d－45＝0，
所以d＝(d＝－舍去)，
所以an＝.
(2)bn＝＝＝，
所以Tn＝＝.
22. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，λ≠－1)，且a1、2a2、a3＋3为等差数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和．
解 (1)解法一：∵an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，
∴an＝λSn－1＋1(n≥2)，
∴an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an(n≥2)，λ＋1≠0，
又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1，
∴数列{an}是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，
∴a3＝(λ＋1)2，
∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1，
∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.
解法二：∵a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，
∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1，
∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1，
∴an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，
∴an＝Sn－1＋1(n≥2)，
∴an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)，
又a1＝1，a2＝2，
∴数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，
∴an＝2n－1，
bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)由(1)知，anbn＝(3n－2)×2n－1，设Tn为数列{anbn}的前n项和，
∴Tn＝1×1＋4×21＋7×22＋…＋(3n－2)×2n－1，①
∴2Tn＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n－5)×2n－1＋(3n－2)×2n.②
①－②得，－Tn＝1×1＋3×21＋3×22＋…＋3×2n－1－(3n－2)×2n
＝1＋3×－(3n－2)×2n，
整理得：Tn＝(3n－5)×2n＋5.
23. 在数列{an}中，a1＝，an＋1＝2－，设bn＝，数列{bn}的前n项和是Sn.
(1)证明数列{bn}是等差数列，并求Sn；
(2)比较an与Sn＋7的大小．
解 (1)证明：∵bn＝，an＋1＝2－，∴bn＋1＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，
∴数列{bn}是公差为1的等差数列．
由a1＝，bn＝得b1＝－，
∴Sn＝－＋＝－3n.
(2)由(1)知：bn＝－＋n－1＝n－.由bn＝得an＝1＋＝1＋.
∴an－Sn－7＝－＋3n－6＋.
∵当n≥4时，y＝－＋3n－6是减函数，y＝也是减函数，[来源:Z,xx,k.Com]
∴当n≥4时，an－Sn－7≤a4－S4－7＝0.
又∵a1－S1－7＝－2n＋n＋2λ，得λ>＝＋.
∵－＝≤0，
∴当n＝1,2时，取最大值，
∴λ的取值范围为(，＋∞)．
28. 若数列{xn}满足：－＝d(d为常数，n∈N*)，则称{xn}为调和数列．已知数列{an}为调和数列，且a1＝1，＋＋＋＋＝15.
(1)求数列{an}的通项an；
(2)数列的前n项和为Sn，是否存在正整数n，使得Sn≥2015？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．
解 (1)依题意为等差数列，由＋＋＋＋＝15得＝15，即＝3，∴公差d＝＝1，故＝n即an＝.
(2)Sn＝1×21＋2×22＋…＋n×2n①
2Sn＝1×22＋…＋(n－1)2n＋n×2n＋1②
②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋…＋2n)＝(n－1)2n＋1＋2.
由于Sn是递增的，当n＝7时S7＝6×28＋2211>2015.
所以存在正整数n，使得Sn≥2015，n的取值集合为{n|n≥8，n∈N*}
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