9. 坐标系与参数方程
[2015·郑州质量预测(一)]在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为ρ＝2cosπ
4 ，直
线 l 的参数方程为x＝t
t (t 为参数)，直线 l 和圆 C 交于 A，B 两点，P 是
圆 C 上不同于A，B 的任意一点．
(1)求圆心的极坐标；
(2)求△PAB 面积的最大值．
解 (1)圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y
＋1)2＝2.
所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为7π
4 .
(2)直线 l 的普通方程为：2x－y－1＝0，圆心到直线 l 的距离 d＝
2＋1－1|
3 ＝2
3，
所以|AB|＝28
9＝10
3 ，
点 P 到直线 AB 距离的最大值为 r＋d＝＋2
3＝2
3，
故最大面积 Smax＝1
2×10
3 ×2
3＝5
9.
2．在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(2,0)的直线 l 的参数方程为
3t
y＝t(t 为参数)，圆 C 的方程为 x2＋y2＝9.以坐标原点 O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程；
(2)设直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求|PA|·|PB|的值．
解 (1)直线 l 的普通方程为 x＋y－2＝0，
将x＝ρcosθ
y＝ρsinθ代入得，ρcosθ＋ρsinθ－2＝0，整理得直线 l 的极坐标方程为ρcos(θ－π
3 )＝1.
圆 C 的极坐标方程为ρ＝3.
(2)直线l的参数方程为 3t
y＝t，将其代入x2＋y2＝9得4t2－4t－5＝0，
所以|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝5
4.
3．[2015·福建高考]在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程
为x＝1＋3cost，
y＝－2＋3sint(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同
的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线
l 的方程为ρsinπ
4 ＝m(m∈R)．
(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；
(2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值．
解 (1)消去参数 t，得到圆 C 的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
由ρsinπ
4 ＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.
所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋m＝0.
(2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，
即错误!＝2，
解得 m＝－3±2.
4．[2015·郑州质量预测(二)]在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参
数方程为 3cosα＋sinα
sinαcosα－2sin2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点 O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程为
ρsinπ
4 ＝2
2t(t 为参数)．
(1)求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程；
(2)若曲线 N 与曲线 M 有公共点，求 t 的取值范围．解 (1)由 x＝cosα＋sinα得 x2＝(cosα＋sinα)2 ＝2cos2α＋2sinαcosα
＋1，
所以曲线 M 可化为 y＝x2－1，x∈[－2,2]，
由ρsinπ
4 ＝2
2t 得2
2ρsinθ＋2
2ρcosθ＝2
2t，
所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线 N 可化为x＋y＝t.
(2)若曲线 M，N有公共点，则当直线 N 过点(2,3)时满足要求，此
时 t＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍
然只有一个公共点，
联立 x＋y＝t
y＝x2－1，得 x2＋x－1－t＝0，
由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得 t＝－5
4.
综上可求得 t 的取值范围是－5
4≤t≤5.
5．已知直线 l：5(t 为参数)上一点 P，椭圆 C：2cosθ，
y＝sinθ(θ为参数)
上一点 Q，求|PQ|的最大值以及此时点 Q 的坐标．
解 直线 l：5(t 为参数)的普通方程为 2x－y＋4＝0，椭圆 C：
2cosθ，
y＝sinθ(θ为参数)上一点 Q 到直线的距离为 d＝2cosθ－sinθ＋4|
5 ＝
2cosθ－4|
5 ＝3－4
5 ＝错误!，
其中 cosφ＝1
3，sinφ＝－2
3，
当 sin(θ＋φ)＝－1，即θ＋φ＝3π
2 ，θ＝3π
2 －φ时，dmax＝5
5.此时 cosθ
＝cos 3π
－φ＝－sinφ＝2
3，
sinθ＝sin 3π
－φ＝－cosφ＝－1
3，
所以 1
，即椭圆上的点 Q 的坐标为1
3.6．[2015·陕西质检(二)]在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：
x2＋y2＝4，圆 C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆
C1 与圆 C2 的极坐标方程及两圆交点的极坐标；
(2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程．
解 (1)圆 C1 的极坐标方程为ρ＝2，圆 C2 的极坐标方程为ρ＝
4cosθ，
由 ρ＝2
ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝2kπ±π
3 ，其中 k∈Z，
故圆 C1 与圆 C2 交点的极坐标为π
3 ，π
3 ，其中 k∈Z.
(2)由(1)可知圆 C1 与圆 C2 的交点在直角坐标系下的坐标为(1，)，
(1，－)，
故圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为x＝1
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