2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质学业分层测评苏教版必修2.doc

‎1.2.1‎‎ 平面的基本性质 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[学业达标]‎ 一、填空题 ‎1．经过空间任意三点可以作________个平面．‎ ‎【解析】　若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．‎ ‎【答案】　一个或无数 ‎2．下面是四个命题的叙述(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：‎ ‎①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；‎ ‎②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；‎ ‎③∵A∉α，a⊂α，∴A∉a.‎ 其中，命题叙述方式和推理都正确的命题是________．‎ ‎【解析】　①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊂α；③正确．‎ ‎【答案】　③‎ ‎3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中________. ‎ ‎①必有三点共线；②必有三点不共线；③至少有三点共线；④不可能有三点共线．‎ ‎【解析】　如图(1)(2)所示，①③④均不正确，只有②正确，如图(1)中A，B，D不共线．‎ ‎(1)　　　　　(2)‎ ‎【答案】　②‎ ‎4．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.‎ ‎【解析】　因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.‎ ‎【答案】　∈‎ ‎5．如图1－2－10所示，ABCD－A1B‎1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A‎1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．‎ 图1－2－10‎ 6‎ ‎①A，M，O三点共线；‎ ‎②A，M，O，A1四点共面；‎ ‎③A，O，C，M四点共面；‎ ‎④B，B1，O，M四点共面．‎ ‎【解析】　因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知①②③均正确．‎ ‎【答案】　④‎ ‎6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．‎ ‎【解析】　∵AC∥BD，‎ ‎∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，‎ 则α∩β＝直线CD.‎ ‎∵l∩α＝O，∴O∈α.‎ 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．‎ ‎【答案】　共线 ‎7．如图1－2－11所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)‎ 图1－2－11‎ ‎【解析】　图形①中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知图形②④中这四点均不共面．③中四点恰是正六边形的四点，故③正确．‎ ‎【答案】　①③‎ ‎8．如图1－2－12所示，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，平面A‎1C与平面BDPQ的交线是__________. ‎ 6‎ 图1－2－12‎ ‎【解析】　因为N∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C与平面BDPQ的交线是MN.‎ ‎【答案】　MN 二、解答题 ‎9.如图1－2－13，点A∉平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与FG交于点K，求证：点K在直线BD上．‎ 图1－2－13‎ ‎【证明】　∵EH∩FG＝K，‎ ‎∴K∈EH，K∈FG.‎ ‎∵E∈AB，H∈AD，‎ ‎∴EH⊂平面ABD，∴K∈平面ABD.‎ 同理，K∈平面BCD.‎ 又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ ‎∴K在直线BD上．‎ ‎10．如图1－2－14，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．‎ 图1－2－14‎ ‎【证明】　因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．‎ 6‎ 分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.‎ 又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH⊂平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．如图1－2－15，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_______．‎ 图1－2－15‎ ‎【解析】　因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，‎ 故DE是△ABC与平面α的交线．‎ 又∵P在α内，也在平面ABC内，‎ 故P点在△ABC与平面α的交线DE上．‎ ‎【答案】　P∈DE ‎2．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，R三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.‎ ‎【解析】　如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.‎ 又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.‎ ‎【答案】　直线PR ‎3．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B‎1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是__________．‎ ‎【解析】　如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，RE綊PQ，∴P，Q，E，R共面．‎ 6‎ 再取BB1，DD1的中点F，G.‎ ‎∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴GE∥PF，综上E，G，F，P，Q，R共面，‎ ‎∴截面图形为正六边形．‎ ‎【答案】　正六边形 ‎4．在棱长是a的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M，N分别是AA1，D‎1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l. ‎ ‎ (1)画出交线l；‎ ‎(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；‎ ‎(3)求点D1到l的距离．‎ ‎【解】　(1)如图，延长DM交D‎1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B‎1C1D1的一个公共点．连结QN，则直线QN就是两平面的交线l.‎ ‎(2)∵M是AA1的中点，MA1∥DD1，‎ ‎∴A1是QD1的中点．‎ 又∵A1P∥D1N，∴A1P＝D1N.‎ ‎∵N是D1C1的中点，∴A1P＝D1C1＝，‎ ‎∴PB1＝A1B1－A1P＝a.‎ ‎(3)过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长就是点D1到l的距离．‎ ‎∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝，‎ ‎∴QN＝＝a，‎ ‎∴D1H＝＝＝a，‎ 6‎ 即点D1到l的距离是a.‎ 6‎