1.3.1 空间几何体的表面积
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列有四个结论，其中正确的是________．
(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
(2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；
(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥．
【解析】 (1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件，故正确．
【答案】 (4)
2．一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
【解析】 设底面边长，侧棱长分别为a cm，l cm，
∴∴S侧＝4×4×7＝112 cm2.
【答案】 112
3．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________.
【解析】 由题意可知S侧＝2×5×4×sin 60°＋5×4＝20＋20.
【答案】 20＋20
4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．
【解析】 ∵l＝，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，∴l＝4.
【答案】 4
5．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为__________．
【解析】 斜高h′
＝＝，
S1＝×(3×2＋3×4)×＝9，S2＝×22＋×42＝5，
6
∴S1>S2.
【答案】 S1>S2
6．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________．
【解析】 设圆锥底面半径为r，母线为l，则有2l＋2πr＝2m.
∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πmr.
∴当r＝＝时，S全有最大值.
【答案】
7．正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的侧面积为__________．
【解析】 如图，连结A1D1，AD1，则易知AD1为正六边形最长的对角线，
由棱柱的性质，得AA1⊥A1D1，
在Rt△AA1D1中，AD1＝13，AA1＝5，A1D1＝＝12，由正六棱柱的性质A1B1＝A1D1＝6，
S棱柱侧面积＝6×6×5＝180.
【答案】 180
8．如图1－3－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．
图1－3－2
【解析】 设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1－AB1C为四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为4×××＝2，所以三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶.
【答案】 1∶
二、解答题
6
9.如图1－3－3所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
图1－3－3
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱为12 cm，小棱锥底面边长为4 cm，求截得棱台的侧面积和全面积.
【解】 (1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为，
∴S大棱锥侧＝c1h1＝×6a× ＝3a ，
S小棱锥侧＝c2h2＝×3a×
＝a ，
S棱台侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝(6a＋3a)× ＝a ，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)S侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝144(cm2)，
S上＝6××4×4×sin 60°＝24(cm2)，
S下＝6××8×8×sin 60°＝96(cm2)，
∴S全＝S侧＋S上＋S下
＝144＋120(cm2)．
10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
【解】 法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm.即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D.
6
在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x cm，所以A′D＝AD＝2x cm，又S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.
综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm.
法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)．
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm，
又SO′＝A′O′＝x cm，所以OO′＝2x cm.
又S轴截面＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.
综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm，21 cm.
[能力提升]
1．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________．
【解析】 S＝3π2＋2·π·2＝3π2＋π或S＝3π2＋2·π·2＝3π2＋π.
【答案】 3π2＋π或3π2＋π
2．如图1－3－4，三棱锥S－ABC中底面△ABC为正三角形，边长为a，侧面SAC也是正三角形，且侧面SAC⊥底面ABC，则三棱锥的侧面积为________.
图1－3－4
【解析】 取AC的中点M，连结SM，MB.
6
∵△SAC，△ABC为全等正三角形，
∴SM⊥AC，BM⊥AC，
且SM＝BM＝a，△SAB≌△SCB.
又∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC.
SM⊂平面SAC，∴SM⊥平面ABC.
过M作ME⊥BC于点E，连结SE，则SE⊥BC.
在Rt△BMC中，ME·BC＝MB·MC，
∴ME＝a，可求SE＝＝a.
∴S△SBC＝BC·SE＝a2，
∴S侧＝S△SAC＋2S△SBC＝a2.
【答案】 a2
3．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝__________.
【解析】 由题意可把三棱锥A1－ABC与四棱锥A1－BCC1B1拼成如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为.而四棱锥A1－BCC1B1的高为，则h1∶h2∶h＝∶∶＝∶2∶2.
【答案】 ∶2∶2
4．如图1－3－5所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01 m2)．
6
图1－3－5
【解】 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr·(1.2－2r)＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．
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