2018版高中数学第一章立体几何初步1.3.2空间几何体的体积学业分层测评苏教版必修2.doc

‎1.3.2‎‎ 空间几何体的体积 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[学业达标]‎ 一、填空题 ‎1．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此正三棱锥的体积为__________．‎ ‎【解析】　设此正三棱锥的高为h，则h2＋＝1，所以h2＝，h＝，故此三棱锥的体积V＝××()2×＝.‎ ‎【答案】　 ‎2．一个正四棱台形油槽可以装煤油‎190 L，假如它的上、下底边长分别等于‎60 cm和‎40 cm，它的深度是________ cm.‎ ‎【解析】　设深度为h，则V＝(402＋40×60＋602)，‎ 即190 000＝×7 600，所以h＝75.‎ ‎【答案】　75‎ ‎3．如图1－3－11，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________. ‎ 图1－3－11‎ ‎【解析】　将该几何体补上一个同样的几何体，变为一个高为a＋b的圆柱，则所求几何体的体积为V＝＝×πr2·(a＋b)＝.‎ ‎【答案】　 ‎4．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．‎ ‎【解析】　设新的底面半径为r，由题意得 ×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，‎ ‎∴r2＝7，∴r＝.‎ 6‎ ‎【答案】　 ‎5．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．‎ ‎【解析】　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝.‎ ‎【答案】　 ‎6．将一铜球放入底面半径为‎16 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了‎9 cm，则这个铜球的半径为__________cm.‎ ‎【解析】　设铜球的半径为R cm，则有πR3＝π×162×9，解得R＝12.‎ ‎【答案】　12‎ ‎7．如图1－3－12，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，那么多面体BB‎1C1CEF的体积为________．‎ 图1－3－12‎ ‎【解析】　在△ABC中，BC边上的高h＝＝2，‎ V柱＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36，‎ ‎∴VE－ABC＋VF－A1B1C1＝V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30.‎ ‎【答案】　30‎ ‎8．如图1－3－13所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A(B)，C，D，O为顶点的四面体的体积是__________．‎ 6‎ 图1－3－13‎ ‎【解析】　显然，折叠后OA是该四面体的高，且OA为2，而△COD的面积为4，所以四面体的体积为.‎ ‎【答案】　 二、解答题 ‎9．如图1－3－14所示，A为直线y＝x上的一点，AB⊥x轴于点B，半圆的圆心O′在x轴的正半轴上，且半圆与AB，AO相切，已知△ABO绕x轴旋转一周形成的几何体的体积为9π，求阴影部分旋转成的几何体的体积．‎ 图1－3－14‎ ‎【解】　阴影部分绕x轴旋转一周所得几何体是圆锥挖去一个内切球．其体积为V＝V圆锥－V球．‎ 设A点坐标为(x，y)，则 解得 于是∠AOB＝30°，从而OO′＝2R，‎ ‎3R＝x＝3，R＝.‎ ‎∴V＝9π－πR3＝9π－π()3＝5π.‎ ‎10．如图1－3－15，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．‎ 图1－3－15‎ ‎(1)证明：AC⊥HD′；‎ 6‎ ‎(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积．‎ ‎【解】　(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.‎ 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.‎ 由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.‎ ‎(2)由EF∥AC得＝＝.‎ 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.所以OH＝1，D′H＝DH＝3.‎ 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，‎ 故OD′⊥OH.‎ 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，‎ 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.‎ 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.‎ 又由＝得EF＝.‎ 五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.‎ 所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝××2＝.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ ‎【解析】　设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.‎ 由题意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，‎ ‎∴斜高h′＝＝2，∴S侧＝6××2×2＝12.‎ ‎【答案】　12‎ ‎2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．‎ ‎【解析】　法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.‎ 6‎ 法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连结OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.‎ ‎【答案】　4πRr ‎3．如图1－3－16，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，E是AB的中点，D是AA1的中点，则三棱锥D－B‎1C1E的体积与三棱柱ABC－A1B‎1C1的体积之比是__________. ‎ 图1－3－16‎ ‎【解析】　设C1到平面A1B的距离为h，由已知得，‎ S△DB1E＝AB·A‎1A，所以V三棱锥D－B‎1C1E＝S△DB1Eh＝×·AB·A‎1A·h＝AB·A‎1A·h＝VABC－A1B‎1C1，即V三棱锥D－B‎1C1E∶VABC－A1B‎1C1＝1∶4.‎ ‎【答案】　1∶4‎ ‎4．如图1－3－17，长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D‎1C1上，A1E＝D‎1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ 图1－3－17‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；‎ ‎(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．‎ ‎【解】　(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．‎ ‎(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.‎ 因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.‎ 6‎ 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.‎ 故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，‎ S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.‎ 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，‎ 所以其体积的比值为.‎ 6‎