2.2.2 直线与圆的位置关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是________．
【解析】 l过定点A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，
∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l的斜率存在，
∴l与圆一定相交．
【答案】 相交
2．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为______________．
【解析】 由圆的性质可知，此弦与过点P的直径垂直，故kAB＝－＝1.故所求直线方程为x－y－3＝0.
【答案】 x－y－3＝0
3．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.
【解析】 由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.
【答案】 2
4．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a＝________.
【解析】 因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得a＝±－1，因为a>0，所以a＝－1.
【答案】 －1
5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为__________．
【解析】 设圆心为(2，b)，则半径r＝.又＝，解得b＝1，r＝.
【答案】
6．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为
4
的点共有________个．
【解析】 圆心为(－1，－2)，半径r＝2，而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意．
【答案】 3
7．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则c＝__________.
【解析】 圆心到直线的距离为d＝，因为弦AB的长为2，所以4＝3＋2，所以c＝±5.
【答案】 ±5
8．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是________．
【解析】 设圆心为C，弦MN的中点为A，当MN＝2时，AC＝＝＝1.
∴当MN≥2时，圆心C到直线y＝kx＋3的距离d≤1.
∴≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.
∴－≤k≤0.
【答案】
二、解答题
9．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
【解】 (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，
4
∴＝，
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l：kx－y－4k＋3＝0，
(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；
(2)求当k取何值时，圆被直线l截得弦最短，并求此最短值.
【解】 (1)证明：由圆的方程(x－3)2＋(y－4)2＝4得圆心(3,4)，半径r＝2，由直线方程得l：y－3＝k(x－4)，即直线l过定点(4,3)，而(4－3)2＋(3－4)2＝2
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